Símbolos de Christoffel e como calcular

Até aqui a métrica só mediu vetores no mesmo ponto. Derivar um campo exige subtrair vetores de pontos vizinhos, que moram em espaços tangentes diferentes, e isso pede uma regra nova: a conexão. Dada a métrica e duas exigências, a regra é única, e seus coeficientes são os símbolos de Christoffel. Esta seção deduz a fórmula e a executa à mão em polares e na esfera.

Por que a derivada parcial não basta

O campo constante ∂x do plano tem, em polares, as componentes vr=cos⁡θ e vθ=−sin⁡θ/r. Nada muda no campo, e mesmo assim ∂θvr=−sin⁡θ≠0. A derivada parcial de componentes mede também a variação da base. A falha aparece na lei de transformação: com v′α=(∂x′α/∂xμ) vμ,

Quando há uma base eν, a correção é imediata. A derivada de um vetor da base é outro vetor, que se escreve na própria base, e os coeficientes dessa expansão são a conexão. O primeiro índice de baixo diz em que direção se deriva. Com v=vνeν e a regra do produto sai a derivada covariante.

Sem espaço ambiente, a segunda igualdade vira a definição. Uma conexão é qualquer regra ∇ linear, com a regra de Leibniz, que coincide com ∂ em escalares. Aplicando Leibniz ao escalar wρvρ sai ∇μwν=∂μwν−Γμνρwρ: sinal contrário para índice de baixo. Um tensor recebe um termo por índice, por exemplo ∇ρgμν=∂ρgμν−Γρμλgλν−Γρνλgμλ. Para que ∇μvρ seja tensor, os Γ têm de cancelar a sobra acima, e por isso eles próprios não são tensor.

Duas exigências

Há infinitas conexões numa variedade, porque a diferença de duas delas pode ser qualquer tensor com esses três índices. Duas condições escolhem uma. A primeira é ∇ρgμν=0, dita compatibilidade com a métrica: levar dois vetores juntos de um ponto ao vizinho não muda o produto escalar deles, como a seção de transporte paralelo mostra. A segunda é torção zero, Γμνρ=Γνμρ: deslocar u ao longo de v e v ao longo de u fecha o paralelogramo infinitesimal.

Torção zero é uma escolha, não um teorema. Conexões métricas com torção existem e são consistentes. A relatividade geral fica com a que não tem torção, e o que muda quando se abre mão disso é assunto da seção Spin e torção, no módulo Formas e Cartan. A conexão que cumpre as duas condições chama-se de Levi-Civita.

As duas exigências são equações lineares para Γ. A conta é escrever a primeira três vezes, com os índices em rodízio, e usar a segunda para cancelar. O passo 4 precisa de g inversível.

A compatibilidade, com o índice baixado De ∇ρgμν=0 e da fórmula acima, com Γσμν=gσλΓμνλ: ∂ρgμν=Γνρμ+Γμρν.

Três cópias em rodízio Girando (μ,ν,ρ): ∂μgνρ=Γρμν+Γνμρ,∂νgρμ=Γμνρ+Γρνμ,∂ρgμν=Γνρμ+Γμρν.

Torção zero cancela quatro termos Some as duas primeiras e subtraia a terceira. Com Γσμν=Γσνμ, o par Γνμρ−Γνρμ se anula, o par Γμνρ−Γμρν também, e Γρμν+Γρνμ=2Γρμν: Γρμν=12(∂μgνρ+∂νgρμ−∂ρgμν).

Subir o índice Multiplicando por gλρ: Γμνλ=12 gλρ(∂μgνρ+∂νgρμ−∂ρgμν).

Existe e é única A conta mostrou a unicidade: duas conexões com as duas propriedades têm a mesma fórmula. A existência se confere substituindo a fórmula de volta: ela é simétrica em μν, e Γνρμ+Γμρν devolve ∂ρgμν. Uma conta direta mostra ainda que ela obedece à lei de transformação acima. As contagens batem: n⋅n(n+1)/2 números ∂ρgμν e o mesmo tanto de Γμνλ simétricos, 6 em duas dimensões e 40 em quatro.

Uma contração que já conhecemos Em Γμνμ, o primeiro e o terceiro termos se cancelam, pois gμρ é simétrico. Sobra 12gμρ∂νgμρ=∂νln⁡∣g∣, a identidade do determinante da seção do tensor métrico. Logo ∇μvμ=∂μvμ+vν ∂νln⁡∣g∣=1∣g∣ ∂μ(∣g∣ vμ), a divergência daquela seção, agora como derivada covariante.

Resultado. Γμνλ=12gλρ(∂μgνρ+∂νgρμ−∂ρgμν) é a única conexão sem torção com ∇g=0.

Como calcular

A receita tem quatro etapas: escreva g e sua inversa; liste as derivadas ∂ρgμν não nulas, em geral poucas; passe pelos n2(n+1)/2 símbolos com μ≤ν, aplicando a fórmula; confira com uma contração ou um caso conhecido. Para métrica diagonal, a fórmula se reduz a três casos. Com i≠j, sem soma, e em qualquer assinatura:

Com ds2=dr2+r2dθ2. São seis símbolos, e dois deles sobrevivem.

Dados grr=1, gθθ=r2, grθ=0, logo grr=1 e gθθ=1/r2. Das seis derivadas possíveis, só uma não é zero: ∂rgθθ=2r.

Os que levam a derivada Pela fórmula geral, com ρ fixado pela inversa diagonal: Γθθr=12grr(∂θgθr+∂θgrθ−∂rgθθ)=12(0+0−2r)=−r, Γrθθ=12gθθ(∂rgθθ+∂θgθr−∂θgrθ)=12r2 (2r+0−0)=1r.

Os outros quatro Γrrr=12∂rgrr=0. Γrθr=12∂θgrr=0. Γrrθ=−12gθθ∂θgrr=0. Γθθθ=12gθθ∂θgθθ=0. Nenhum toca em ∂rgθθ.

Conferência pela base Com er=(cos⁡θ,sin⁡θ) e eθ=r(−sin⁡θ,cos⁡θ), derivando em R2: ∂θeθ=−r er e ∂reθ=∂θer=1reθ. São os mesmos coeficientes.

Conferência pelo campo constante Para vr=cos⁡θ, vθ=−sin⁡θ/r: ∇θvr=−sin⁡θ+(−r)(−sin⁡θr)=0,∇θvθ=−cos⁡θr+1rcos⁡θ=0,∇rvθ=sin⁡θr2+1r(−sin⁡θr)=0, e ∇rvr=0. O campo constante tem derivada covariante nula.

Resultado. Γθθr=−r e Γrθθ=Γθrθ=1/r. Os demais são zero, e o plano continua plano.

Com ds2=a2(dθ2+sin⁡2θ dφ2). Mesma estrutura, outra função.

Dados gθθ=a2, gφφ=a2sin⁡2θ, logo gθθ=1/a2 e gφφ=1/(a2sin⁡2θ). Só ∂θgφφ=2a2sin⁡θcos⁡θ é não nula.

Terceiro caso da fórmula diagonal Γφφθ=−∂θgφφ2gθθ=−2a2sin⁡θcos⁡θ2a2=−sin⁡θcos⁡θ.

Segundo caso Γθφφ=∂θgφφ2gφφ=2a2sin⁡θcos⁡θ2a2sin⁡2θ=cot⁡θ.

Os outros quatro Γθθθ, Γθφθ e Γθθφ pedem derivadas de gθθ, que é constante. Γφφφ pede ∂φgφφ=0. Todos zero.

Conferência no espaço ambiente Com eφ=asin⁡θ(−sin⁡φ,cos⁡φ,0), vale ∂φeφ=−asin⁡θ(cos⁡φ,sin⁡φ,0). Esse vetor sai da superfície, e a parte tangente é a que conta. Com eθ=a(cos⁡θcos⁡φ,cos⁡θsin⁡φ,−sin⁡θ), o produto ∂φeφ⋅eθ=−a2sin⁡θcos⁡θ, dividido por gθθ, dá Γφφθ. A conexão intrínseca é a derivada ambiente projetada no plano tangente.

Leitura a sumiu: multiplicar g por uma constante não muda Γ. No equador os dois símbolos se anulam, e a esfera não ficou plana ali. Nos polos cot⁡θ diverge: é a carta que falha, como a régua já tinha avisado, e a esfera segue regular.

Resultado. Γφφθ=−sin⁡θcos⁡θ e Γθφφ=Γφθφ=cot⁡θ. Os demais são zero.

Em quatro dimensões. Tome como dada a métrica de Schwarzschild, com c=G=1, f=1−2M/r e g=diag⁡(−f,1/f,r2,r2sin⁡2θ). A derivação dela vem bem depois: aqui ela é só um exercício. A fórmula diagonal dá, sem esforço, os nove símbolos não nulos, de 40.

Em r=6M e θ=90°, com M=1: f=23, f′=118, portanto Γtrt=124≈0,04167, Γttr=154≈0,01852 e Γθθr=−4.

Γ não é curvatura

Dois fatos separam as ideias. O plano em polares tem Γ≠0 sem nenhuma curvatura. E, no sentido contrário, em qualquer ponto p de qualquer variedade existe uma carta em que todos os Γ valem zero em p. Partindo de coordenadas com p na origem, tome x′ρ=xρ+12Γμνρ(p) xμxν. O jacobiano em p é a identidade, e ∂2xρ/∂x′β∂x′γ=−Γβγρ(p), de modo que a lei de transformação dá Γ′(p)=0. A construção usa a simetria de Γ: com torção, a parte antissimétrica é tensor e não se anula numa carta. No espaço-tempo isso é o laboratório em queda livre, onde a gravidade some em um ponto. A curvatura está nas derivadas de Γ, que nenhuma carta remove, e o objeto que as reúne é o tensor de Riemann, mais adiante neste módulo.

A calculadora

Escolha uma métrica e um ponto. O laboratório repete a conta numericamente, a partir de g. Em polares, com r=2, ele lê Γθθr=−2,000 e Γrθθ=0,5000. Na esfera de raio 1, com θ=60°, lê −0,4330 e 0,5774, e com θ=90° a lista fica vazia. Em Schwarzschild, com r=6 e θ=90°, restam 7 de 40, porque os dois últimos símbolos da lista acima zeram no equador; com θ=60° são 9. Kerr, no mesmo ponto, com a=0,9, tem 10: o termo cruzado gtφ cria símbolos como Γrφt. Peça também Riemann, Ricci, o escalar R e o escalar de Kretschmann K, que este módulo vai definir: em polares tudo isso é zero, enquanto Γ não é. Na esfera, R=2,000 e K=4,000. Em Schwarzschild, com r=6, R=0 e K=0,001029, o valor de 48M2/r6. Leve r a 2: g não existe nessa carta, e o laboratório avisa em vez de mostrar um número.

Γrθθ ao longo de r

Cálculo numérico no ponto, não simbólico: as derivadas de g saem de diferenças finitas de quarta ordem, e uma componente vale 0 quando cancela abaixo do erro estimado. Schwarzschild, Reissner-Nordström, Kerr, FLRW e de Sitter usam c=G=1, com M=1 nos buracos negros: são métricas dadas, ainda sem derivação. Minkowski usa c=1, e Rindler, c=α=1. As coordenadas sem controle não mudam nada, porque g não depende delas. Toque em uma linha da lista para ver essa componente ao longo da coordenada do gráfico; o ponto dourado é o ponto escolhido.