Tensor de Weyl

Em quatro dimensões, o tensor de Riemann tem 20 componentes independentes, e Ricci tem 10. As outras 10 formam o tensor de Weyl: a parte de Riemann sem traço nenhum. Ele tem duas propriedades que justificam o nome próprio. Sua forma Cρσμν não muda sob g→Ω2g, a reescala de métrica conforme, e, para n≥4, ele se anula exatamente nas métricas conformemente planas.

A decomposição

Procura-se um tensor com as simetrias de Riemann, feito só de g e de um tensor simétrico P, que tenha o mesmo traço que Riemann. Subtraído, ele deixa uma parte sem traço.

A forma do candidato Seja Sρσμν[P]=gρμPσν+gσνPρμ−gρνPσμ−gσμPρν. Ele é antissimétrico em cada par, troca os pares e satisfaz a soma cíclica, para todo P simétrico.

Tomar o traço Contraindo com gρμ, e com p=gμνPμν: gρμSρσμν=nPσν+gσνp−Pσν−Pσν=(n−2)Pσν+gσνp.

Igualar a Ricci Exigir (n−2)Pσν+gσνp=Rσν e tomar o traço dá 2(n−1)p=R. Voltando, sai a fórmula de P.

Definir C C=R−S[P] tem as simetrias de Riemann e, por construção, todos os traços zero. Com P aberto, é a fórmula em Rμν e R: Cρσμν=Rρσμν−1n−2(gρμRσν+gσνRρμ−gρνRσμ−gσμRρν)+R(n−1)(n−2)(gρμgσν−gρνgσμ).

Contar Para n≥3, Ricci tem n(n+1)/2 componentes livres dentro de Riemann, porque S tem traço invertível. Sobram n2(n2−1)12−n(n+1)2=n(n+1)(n+2)(n−3)12.

Resultado. 0 componentes em n=3, 10 em n=4, 35 em n=5. Em n=3, C≡0: Ricci determina Riemann, como dito em Riemann. Em n=2, a contagem não se aplica: Riemann tem 1 componente, e C nem se define.

Por que n=3 não é banal: nessa dimensão C=0 para toda métrica, e o teste de planura conforme tem de ser outro, o tensor de Cotton, feito de derivadas de P. Em n=2, toda métrica é localmente conforme à plana, sem condição.

A invariância conforme

Parte da métrica conforme e calcula a diferença de conexões, que é um tensor. A ideia é que toda a mudança de Riemann cabe em S, a parte que C não enxerga.

A diferença de conexões Pela fórmula de Christoffel com g~=e2ωg, Dμνρ=Γ~μνρ−Γμνρ é Dμνρ=δμρων+δνρωμ−gμνωρ.

A diferença de curvaturas Colocando Γ~=Γ+D em Riemann, e notando que D é tensor: R~ρσμν−Rρσμν=∇μDνσρ−∇νDμσρ+DμλρDνσλ−DνλρDμσλ.

Abrir Com Aμν=∇μων−ωμων+12gμνωλωλ, simétrico, os termos se agrupam em R~ρσμν=Rρσμν−gραSασμν[A].

A mudança de P Tomando o traço, R~σν−Rσν=−(n−2)Aσν−gσν gαβAαβ. Como Rσν=(n−2)Pσν+gσνp, e como g~σνg~αβ=gσνgαβ, sai P~=P−A.

Subtrair A mesma combinação g~ g~−1 mostra que g~ραS~ασμν[Q]=gραSασμν[Q] para qualquer Q. Logo, e S sendo linear: C~ρσμν=Rρσμν−gραSασμν[A]−gραSασμν[P−A]=Cρσμν.

Resultado. C~ρσμν=Cρσμν, para todo Ω positivo e suave, em n≥3. Riemann muda inteiro, e toda a mudança vai para P.

Planura conforme e vácuo

Se g=Ω2η com η plana, a invariância dá C[g]=C[η]=0. A volta, que para n≥4 C=0 numa região implica que, em torno de cada ponto, existem carta e Ω com g=Ω2η, é o teorema de Weyl e Schouten, enunciado aqui sem demonstração. O tensor foi introduzido por Hermann Weyl em 1918, e Jan Schouten tratou da volta em 1921. Em n=3 a volta é falsa, pois C é sempre zero, e é por isso que a hipótese n≥4 importa. Esse é o teste prometido em métrica conforme.

Duas leituras saem da decomposição. FLRW plana é conformemente plana: com c=1, fator de escala a(t) e tempo conforme η=∫dt/a, ds2=a2(−dη2+dx2+dy2+dz2), logo C=0, e toda a curvatura dela é Ricci. O mesmo vale para de Sitter. No vácuo, Riemann é Weyl: com Rμν=0, P=0 e Rρσμν=Cρσμν. Em Schwarzschild e em Kerr, então, C≠0, e nenhuma reescala as torna planas. A maré de desvio geodésico é Weyl puro, e por isso tem traço zero.

Compare as métricas. Com c=G=1, métricas dadas. Em Schwarzschild, com M=1, r=6 e θ=90°, são 12 linhas iguais às de Riemann, como Cθφθφ=0,3333, e C2=K=0,001029. Em Reissner-Nordström, com Q=0,6, C2=9,09×10−4 e K=9,10×10−4: as duas partes estão lá. Em FLRW, com a=t2/3 e t=1, a lista de Weyl fica vazia e K=2,963. Em de Sitter, com H=0,5, também, com K=1,500 e R=3,000. Na esfera e em polares, a dimensão é 2, e o quadro diz isso.

Reescale de verdade. O motor refaz todo o cálculo em Ω2g por diferenças finitas, sem a fórmula de transformação, com o Ω não constante descrito sob o laboratório. Em Schwarzschild, com β=0,5, Ω=1,087 no ponto, a maior mudança de uma componente de C é da ordem de 10−11, contra a tolerância de 6,39×10−7, enquanto Riemann muda de 0,6389, e o escalar sai de 0 para 0,002286. C2 cai para 7,37×10−4, e vezes Ω4 volta a 0,001029. Em Minkowski, a reescala cria curvatura, com R=−1,500 em x=0, e Weyl continua zero: é uma métrica conformemente plana com Ricci não nulo.

Ctrtr ao longo de r

Cálculo numérico no ponto, não simbólico: as derivadas de g saem de diferenças finitas de quarta ordem, e uma componente vale 0 quando cancela abaixo do erro estimado. Schwarzschild, Reissner-Nordström, Kerr, FLRW e de Sitter usam c=G=1, com M=1 nos buracos negros: são métricas dadas, ainda sem derivação. Minkowski usa c=1, e Rindler, c=α=1. As coordenadas sem controle não mudam nada, porque g não depende delas. Toque em uma linha da lista para ver essa componente ao longo da coordenada do gráfico; o ponto dourado é o ponto escolhido. A escala é Ω=eβh, não constante: nos buracos negros, h=M(1+cos⁡θ)/r, e nas demais métricas de dimensão quatro, h=sin⁡x1, com x1 a segunda coordenada. O motor recalcula tudo a partir de Ω2g por diferenças finitas, sem usar a fórmula de transformação. A tolerância de ΔC é 10−6 da maior componente de Riemann.