Desvio geodésico

Uma partícula sozinha em geodésica não sente nada: em sua carta local, Γ some. Duas partículas vizinhas contam outra história, porque a separação entre elas muda de um jeito que nenhuma carta remove. A equação de Jacobi, ou do desvio geodésico, diz quanto: a segunda derivada covariante da separação é o tensor de Riemann contraído com a velocidade e a própria separação. É a forma local da força de maré.

A equação de Jacobi

Parte de uma família a um parâmetro, e usa só o comutador de Riemann e a equação da geodésica. Nada de cartas.

Os dois campos comutam u e ξ são derivadas parciais de xμ(τ,λ), logo uμ∂μξρ=ξμ∂μuρ. Como Γ é simétrico, isso vale com ∇: uμ∇μξρ=ξμ∇μuρ.

Derivar mais uma vez Aplicando uν∇ν e trocando a primeira derivada pelo passo anterior: D2ξρdτ2=uν∇ν(ξμ∇μuρ)=(uν∇νξμ)∇μuρ+uνξμ∇ν∇μuρ.

Trocar a ordem das derivadas Pelo comutador, ∇ν∇μuρ=∇μ∇νuρ+Rρσνμuσ. O termo com a ordem trocada é uνξμ∇μ∇νuρ.

Usar que são geodésicas De uν∇νuρ=0 em toda a família, derivando ao longo de ξ: ξμ(∇μuν)∇νuρ+ξμuν∇μ∇νuρ=0. Com o passo 1, a primeira parcela é (uμ∇μξν)∇νuρ, a mesma do passo 2, que então se cancela.

O que sobra Fica só o comutador: D2ξρ/dτ2=Rρσνμuσuνξμ. Trocar os dois últimos índices muda o sinal e dá a forma acima.

Resultado. D2ξρ/dτ2=−Rρσμνuσξμuν. A equação é linear em ξ, e por isso vale para separação pequena. Só Riemann aparece: sem curvatura, ξ cresce no máximo linearmente em τ.

A parte de ξ ao longo de u só renomeia o parâmetro: g(ξ,u) muda no máximo linearmente em τ, e é constante quando as vizinhas têm a mesma norma de u. Com vizinhas de mesma norma que partem com g(ξ,u)=0, essa condição fica valendo, e g(ξ,ξ) é a distância medida no referencial de quem cai.

Na esfera

Contraia a equação com ξρ, para ξ ortogonal a u e u unitário. O lado direito vira −Rρσμνξρuσξμuν, que é −K g(ξ,ξ) pela definição da curvatura seccional. Numa superfície, ξ tem uma só direção ortogonal a u, e com ξ medido nela:

A geometria confirma. Tome o equador e um grande círculo que passa paralelo a ele à distância angular ε. Os dois se cruzam a um quarto de volta, e o outro se afasta do lado oposto até −ε, em meia volta: é εcos⁡(s/a), a menos de termos de ordem ε3.

A maré em Schwarzschild

Tome Schwarzschild como métrica dada, com c=G=1. No referencial ortonormal de quem cai radialmente, u=et^ e a equação vira ξ¨ı^=−Eı^ȷ^ ξȷ^. As componentes são as de escalas de curvatura, e um impulso radial não as muda:

Uma conferência independente. Da geodésica radial, com energia E=ft˙, f=1−2M/r, e g(u,u)=−1, vem r˙2=E2−f. Em seguida, derivam-se as vizinhas.

A aceleração radial Derivando r˙2=E2−1+2M/r em τ, e dividindo por 2r˙: r¨=−Mr2. A forma é a de Newton, mas r é a coordenada areal, e o ponto é derivada em τ.

A vizinha transversal Uma vizinha com o mesmo r(τ), defasada de um ângulo fixo δθ, está a ξ=r δθ. Logo ξ¨=r¨ δθ=−(M/r3) ξ, e ξ/ξ0=r/r0 exatamente.

A vizinha radial Variando r¨=−M/r2 de uma geodésica para a seguinte, no mesmo τ: δr¨=(2M/r3) δr.

De δr à distância própria Com g(ξ,u)=0, a condição fixa ξt em função de δr, e sai g(ξ,ξ)=δr2(1−r˙2/E2)/f=δr2/E2. A distância própria é δr/E, com E constante ao longo da curva, e ela obedece à mesma equação.

Comparar ξ¨r^=+(2M/r3)ξr^ e ξ¨θ^=−(M/r3)ξθ^: são −Er^r^ e −Eθ^θ^, os valores vindos de Riemann.

Resultado. Os autovalores −2M/r3 e +M/r3 saem também só das geodésicas. As duas contas não compartilham nada além de g.

No limite de campo fraco, com c de volta, Eij=∂i∂jΦ/c2, e a equação vira ξ¨i=−∂i∂jΦ ξj, que é a maré de Newton. Em Φ=−GM/r, são os mesmos −2GM/r3 e +GM/r3. A 400 km de altitude, com GM⊕=3,986×1014 m3/s2 e r=6771 km, dois objetos separados de 1 m na vertical se afastam com 2,6×10−6 m/s2. Pequeno, e medido em gradiômetros a bordo de satélites. A diferença para Newton não está nessa fórmula: está em que, na relatividade geral, esse gradiente é a própria gravidade, e a aceleração de cada corpo, não.

Meça, em vez de calcular. Na esfera de raio 1, com ε=0,1, em 25% do percurso, s/a=1,57 e ξ/ε=0,001, o cruzamento. Em 50% a razão é −1,000. O sinal vem de xi, a separação em θ, porque a distância só daria o módulo. Em Schwarzschild, com a nuvem saindo do repouso em r0=6, M=1, a taxa medida no início é −ξ¨/ξ=−0,009260, o valor de −2M/r3 no raio da leitura. Em 50%, τ=7,15, r=5,26, a separação radial é 1,264 vezes a inicial, e a transversal, 0,877, igual a r/r0. A taxa radial medida é −0,01375, a mesma de Riemann, e a transversal, 0,006875, contra 0,006874. No fim, em r=2,41, as razões são 2,921 e 0,401, e a integração da equação de Jacobi dá os mesmos números. As vizinhas distam 10−4 do centro: o desenho é uma ampliação. O percurso para em r=1,2 r+, com r+=2M o raio do horizonte. É o limite do laboratório, e não o horizonte, que em r=2 não seria sentido por quem cai.

Nada aqui usa a equação de Jacobi para mover as curvas: as duas vizinhas saem de RG.desvio, que integra cada geodésica. Na esfera, a dourada é o equador, a rosa é o grande círculo que sai paralelo a ele a uma distância angular ε, e a seta branca é ξ. No gráfico, os pontos são a separação medida, com sinal, e a linha tracejada é cos⁡(s/a). Com ε finito, −ξ¨/ξ difere de K por termos de ordem ε2, porque a equação de Jacobi é o limite de separação pequena: a diferença cai ao reduzir ε. Em Schwarzschild, com c=G=1 e M=1, métrica dada, a nuvem é vista no referencial de queda, ampliada: as vizinhas estão a cerca de 10−4 do centro, e o círculo tracejado é o tamanho inicial. O centro parte do repouso em r0, e a queda é mostrada até r=1,2 r+=2,4, com r+=2M, que é o limite deste laboratório. As taxas −ξ¨/ξ são segundas diferenças da separação medida, lidas a 0,1 de τ das pontas quando o ponto está mais perto do que isso. Elas e as componentes de Riemann valem no raio do quadro “r das taxas abaixo”, que nas pontas difere de r. A linha tracejada integra a equação de Jacobi sobre o r(τ) medido.