Tétradas, conexão de spin e a equação de Dirac curva
Para pôr férmions em espaço-tempo curvo é preciso um referencial local — a tétrada — e a derivada covariante espinorial de Cartan.
A relatividade geral curva o espaço-tempo, mas espinores só sabem se transformar sob o grupo de Lorentz local. A ponte entre os índices curvos μ e os índices planos de Lorentz a é a tétrada (vierbein).
A tétrada: um referencial inercial em cada ponto
Conexão de spin e derivada covariante espinorial
Métrica (+,−,−,−); índices curvos μ,ν,λ, índices de Lorentz locais a,b,c, gμν=eμaeνbηab. A tétrada inversa eaμ satisfaz eμaebμ=δba. Mostramos de onde vem ωμab, por que o coeficiente é 14 e que, em um universo de FLRW, a conexão de spin reduz a equação de Dirac a uma equação plana. Aqui γab≡12[γa,γb] (a convenção em que o fator 14 aparece na frente).
O postulado da tétrada eνa tem um índice curvo, que precisa de Christoffel, e um índice de Lorentz, que precisa de uma conexão ωμab. Exige-se que a tétrada seja covariantemente constante, o que a identifica como a “identidade” entre os dois tipos de índice: ∇μeνa≡∂μeνa−Γμνλeλa+ωμab eνb=0.
Resolver para ω Contraindo com ecν e usando eνbecν=δcb: ωμac=−ecν ∂μeνa+Γμνλeλaecν. De ∂μ(eνaecν)=0 vem −ecν∂μeνa=eνa∂μecν, e então ωμac=eνa(∂μecν+Γμλνecλ), a fórmula do texto.
ωμab é antissimétrica ηab é constante, então 0=∇μηab=−ωμcaηcb−ωμcbηac=−(ωμba+ωμab): ωμab=−ωμba. Há 6 componentes independentes por μ: tantas quanto os geradores de Lorentz (3 rotações e 3 boosts). Então ωμ é um campo de gauge do grupo de Lorentz local.
A transformação do espinor Seja Λab=δba+λab, com λab=−λba, e S=1+14λcdγcd. Com [γa,γcd]=2(ηacγd−ηadγc) (de γcd=γcγd−ηcd e {γa,γc}=2ηac): S−1γaS=γa+14λcd[γa,γcd]=γa+λabγb=Λabγb. Logo, com ψ→Sψ, ψˉ→ψˉS−1, o bilinear ψˉγaψ→Λab ψˉγbψ é um vetor de Lorentz local.
O coeficiente 14 é forçado Seja Dμψ=(∂μ+ω^μ)ψ, Dμψˉ=∂μψˉ−ψˉω^μ. A regra de Leibniz dá Dμ(ψˉγaψ)=∂μ(ψˉγaψ)+ψˉ [γa,ω^μ] ψ. Para que isso seja a derivada de um vetor, ∂μVa+ωμabVb (a do passo 1), é preciso [γa,ω^μ]=ωμabγb. Com ω^μ=14ωμcdγcd e a identidade do passo 4: [γa,ω^μ]=14ωμcd⋅2(ηacγd−ηadγc)=12(ωμadγd−ωμcaγc)=ωμabγb, onde se usou a antissimetria do passo 3. Nenhum outro coeficiente funciona, então Dμ=∂μ+14ωμabγab, e Dμ(eaνγa)=0.
Teste: universo de FLRW, tempo conforme ds2=a2(η)(dη2−dx2), eμa=a δμa. Com Γ0ij=Hδij, Γ0ji=Hδji, H=a′/a, o passo 2 dá as únicas componentes não nulas ωji0=ωj0i=H δji ⇒ 14ωjabγab=14⋅2 H γ0γj(soma em a,b). Com eaμγa=a−1γa e ∑jγjγ0γj=3γ0 (cada γjγ0γj=−γ0(γj)2=+γ0): iγaeaμDμψ=ia[γ0(∂η+32H)+γj∂j]ψ. Com ψ=a−3/2χ, (∂η+32H)a−3/2=a−3/2∂η, então (iγaeaμDμ−m)ψ=0 vira (iγμ∂μ−m a(η))χ=0. (Conferi simbolicamente: iγaeaμDμ(a−3/2χ)−a−5/2 iγμ∂μχ=0 para χ qualquer.)
Resultado. ωμab=eνa(∂μebν+Γμλνebλ) é antissimétrica e Dμ=∂μ+14ωμabγab é a única derivada compatível com o transporte de vetores. Em FLRW, χ=a3/2ψ obedece à equação de Dirac plana com massa m a(η): um fermião sem massa não sente a expansão (invariância conforme), e o fator a−3/2 é a diluição por volume a−3 da densidade ∣ψ∣2.
Por que espinores precisam de tétradas. Um vetor pode ser escrito em qualquer sistema de coordenadas, curvo ou não. Um espinor, não: ele só se transforma bem sob o grupo de Lorentz, que vive no espaço plano tangente. A tétrada eμa é a tradução, em cada ponto, entre as direções curvas (μ) e um referencial inercial local (a); a conexão de spin diz como esse referencial gira de um ponto para o vizinho. É a mesma lógica do princípio de gauge: simetria local exige uma conexão.
Transporte o referencial ao redor de um laço fechado: a conexão de spin o devolve girado. Essa holonomia é a curvatura sentida pelo spinor.
A tétrada eaμ é um referencial ortonormal em cada ponto (as setas verde e âmbar): é o que permite definir spinores num espaço curvo. A conexão de spin ωμab diz quanto esse referencial precisa girar para que um vetor seja transportado paralelamente. A seta branca é transportada sem girar em relação a si mesma ao longo do laço; comparada com o referencial local, ela gira −cosθ por radiano percorrido. Ao fechar a volta, volta rotacionada pelo ângulo sólido envolvido, Ω=2π(1−cosθ): essa holonomia mede a curvatura dentro do laço (a calota sombreada). É o pêndulo de Foucault: na latitude λ ele gira 360∘sinλ por dia.