Transporte paralelo

A conexão compara vetores de pontos vizinhos. Encadeando a comparação ao longo de uma curva, um vetor viaja de um ponto a outro. É o transporte paralelo, e com ele vem a primeira medida de curvatura que não usa coordenadas: o vetor que volta de um laço fechado volta girado, de um ângulo igual à curvatura vezes a área.

A equação

Um vetor vρ(λ) definido ao longo de uma curva xμ(λ) é transportado paralelamente quando sua derivada covariante na direção da curva é zero.

Quatro leituras da mesma equação. A terceira mostra para que serviu exigir ∇g=0.

No plano, a seta fica constante Em cartesianas Γ=0, e dvi/dλ=0. Em polares a mesma seta tem componentes que mudam. Sobre o círculo r=R, com λ=θ, e com Γθθr=−r, Γrθθ=1/r: dvrdθ=R vθ,dvθdθ=−vrR. A solução com vr(0)=1 e vθ(0)=0 é vr=cos⁡θ, vθ=−sin⁡θ/R: as componentes do campo constante ∂x. Depois de uma volta, tudo retorna. Γ não é zero, e o transporte é trivial.

O produto escalar se conserva Para v e w transportados ao longo da mesma curva, ddλ(gμνvμwν)=x˙ρ(∂ρgμν−Γρμλgλν−Γρνλgμλ)vμwν=x˙ρ (∇ρgμν) vμwν=0. Pγ é uma isometria entre espaços tangentes: comprimentos e ângulos passam intactos. No espaço-tempo, um vetor tipo tempo continua tipo tempo.

Numa superfície, gira só o necessário Para uma superfície em R3, a conexão é a derivada ambiente projetada no plano tangente. Logo Dv/dλ=0 diz que dv/dλ, em R3, é normal à superfície. A seta só muda o tanto exigido para continuar tangente, sem nenhuma rotação dentro do plano tangente.

O resultado depende do caminho Tome uma seta apontada para o norte no ponto θ=90°, φ=0, e leve-a até θ=90°, φ=90°. Pelo equador, que é uma curva em que ela mantém o ângulo com a tangente, chega apontada para o norte. Pelo meridiano até o polo e pelo outro meridiano para baixo, ela mantém a direção de marcha e depois fica de lado, e chega apontada para o leste. Dois caminhos, dois vetores. Não existe, em geral, um campo de vetores paralelos em toda a superfície.

Resultado. O transporte é linear, único e isométrico, e depende da curva. Essa dependência é a curvatura.

Holonomia na esfera

Quando a curva é um laço, Pγ leva o espaço tangente em p a ele mesmo e preserva g. Numa superfície orientada, isso é uma rotação de ângulo α, a holonomia do laço. Ela não depende do vetor escolhido, e esse número pode ser calculado à mão para qualquer laço da esfera.

Usa os símbolos deduzidos em Christoffel. A ideia é escrever o vetor no referencial ortonormal (eθ/a, eφ/asin⁡θ) e achar o quanto ele gira contra esse referencial.

As equações Com Γφφθ=−sin⁡θcos⁡θ e Γθφφ=cot⁡θ, o transporte numa curva qualquer é v˙θ=sin⁡θcos⁡θ φ˙ vφ,v˙φ=−cot⁡θ (θ˙ vφ+φ˙ vθ).

Componentes ortonormais Sejam w1=a vθ e w2=asin⁡θ vφ, com ∣v∣2=w12+w22. Substituindo: w˙1=cos⁡θ φ˙ w2,w˙2=acos⁡θ θ˙ vφ+asin⁡θ v˙φ=−cos⁡θ φ˙ w1. Os termos em θ˙ se cancelam, e a desaparece.

A taxa de giro Com w1=∣v∣cos⁡ψ, w2=∣v∣sin⁡ψ, vale ψ˙=(w1w˙2−w2w˙1)/∣v∣2, logo ψ˙=−cos⁡θ φ˙,Δψ=−∮cos⁡θ dφ.

Um paralelo Em θ=θ0 com uma volta, Δψ=−2πcos⁡θ0. O referencial volta a si mesmo, então α=Δψ módulo 2π, ou seja α=2π(1−cos⁡θ0). A calota tem área A=2πa2(1−cos⁡θ0), como na seção do tensor métrico. Portanto α=A/a2. No equador, A/a2=2π e a seta volta como saiu, como deve ser numa curva que é geodésica.

Um laço qualquer Escreva Δψ=∮(1−cos⁡θ) dφ−∮dφ. O segundo termo é múltiplo de 2π. No primeiro, para um laço anti-horário visto de fora, o teorema de Green dá ∮(1−cos⁡θ) dφ=∬sin⁡θ dθ dφ=Aa2, em que A é a região que não contém o polo sul, onde a forma (1−cos⁡θ) dφ deixaria de ser regular. A região complementar, percorrida ao contrário, tem A/a2 diferente por 4π, invisível módulo 2π.

Triângulos geodésicos Nos lados de um triângulo geodésico, a tangente é transportada, e seu ângulo com v só muda nos vértices, de π−Ai em cada um, com Ai o ângulo interno. Ao fechar, a tangente volta a si mesma, e −α=∑i(π−Ai) módulo 2π, logo α=A1+A2+A3−π. Com o passo anterior, o excesso esférico vale A/a2: a fórmula de Girard, agora como consequência do transporte.

Resultado. α=KA módulo 2π, com K=1/a2, no sentido do percurso, para todo laço da esfera. O ângulo não depende de a nem do vetor, e sim da fração da esfera que o laço cerca.

Numa superfície orientada qualquer, a soma de muitos laços pequenos dá α=∬K dA, módulo 2π, para um laço que é borda de um disco regular. Essa hipótese pesa. Num cone, K=0 em toda parte fora da ponta, e um laço em torno dela devolve o vetor girado do ângulo de déficit: o disco contém a ponta, onde a superfície não é regular. O laço infinitesimal, que faz de K uma quantidade local, é o caminho até o tensor de Riemann.

Contas completas

O octante. Três vértices nos eixos, com ângulos de 90°: excesso 3π2−π=π2. A área é um oitavo da esfera, 18⋅4πa2=π2a2. A seta volta girada de 90°, o que é o exemplo do quadro no início, feito por inteiro.

Curvatura da Terra. Um triângulo geodésico de lados 1000 km tem área próxima de 34⋅106 km2. Com a=6371 km, α≈0,0107 rad≈0,61°. A soma dos ângulos do triângulo passa de 180° por esse mesmo valor.

O pêndulo de Foucault. Em boa aproximação, o plano de oscilação é um vetor transportado ao longo do paralelo que o solo percorre num dia sideral. Relativamente ao solo, ele gira Δψ=−2πcos⁡θ0, e em latitude ℓ=90°−θ0 isso é 360°sin⁡ℓ por dia sideral, no sentido horário no hemisfério norte. Em latitude 30° o plano gira 180°, e no equador não gira. É o passo 4 da derivação, com um fio e uma massa.

No espaço-tempo a mesma equação vale para o eixo de um giroscópio em queda livre, que é transportado com DSμ/dτ=0, e o resultado de uma órbita é uma rotação do eixo, com a mesma origem do ângulo acima. O laboratório de tétrada e conexão de spin leva um referencial pelo mesmo paralelo e dá o mesmo 360°(1−cos⁡θ0), escrito em termos da conexão de spin.

Ângulo contra área

Escolha um laço e deixe o vetor dar a volta. O integrador só conhece Γ, e a área é medida à parte. No paralelo θ0=60°, A=3,142, KA=180,0° e α=180,0°. Em θ0=90°, KA=360,0° e α=0,0°. Com a=2 e o mesmo θ0=60°, A quadruplica para 12,566, K cai a 0,250 e α não muda. No quadrilátero inicial, com lados em θ=40°, θ=80° e largura de 120°, A=1,241 e α=71,1°. No triângulo inicial, com base de 90° no equador e vértice em θ=30°, os ângulos somam 233,8°, e α=53,8° é o excesso. Gire a direção inicial: α não muda. Os pontos do gráfico caem sobre a reta α=KA, que recomeça a cada 360°. No plano, Γ≠0 e mesmo assim α=0,0°, com qualquer raio.

A seta dourada é o vetor na partida, e a rosa é o mesmo vetor transportado por RG.transporte, que só conhece os Γ. As rosa apagadas são os passos anteriores. O laço é percorrido no sentido anti-horário visto de fora. α é medido entre a seta de chegada e a de partida, no sentido anti-horário, de 0° a 360°. A área sai de a2∮(1−cos⁡θ) dφ, ou de 12∮r2 dθ no plano, sem usar o transporte. No gráfico, os pontos turquesa são medidos com a mesma família de laços, o dourado é o laço atual e a tracejada é KA módulo 360°. O desenho da esfera mantém o tamanho quando a muda.