Geodésicas

A reta do plano tem duas definições: a curva que não muda de direção e a de menor comprimento entre dois pontos. Numa variedade com a conexão de Levi-Civita, as duas continuam valendo e dão a mesma equação. A primeira usa o transporte paralelo e a segunda, a métrica. No espaço-tempo, essa curva é a trajetória de um corpo em queda livre.

A equação

Uma geodésica é uma curva que transporta paralelamente o próprio vetor tangente. Basta pôr vρ=x˙ρ na equação do transporte.

A definição é geométrica, e a equação acima fixa também o parâmetro. Os passos separam o que pertence à curva do que pertence ao parâmetro.

Só a direção O que define "seguir reto" é a tangente manter a direção. Isso admite que ela mude de tamanho: Ddμdxρdμ=h(μ) dxρdμ.

Trocar de parâmetro Com μ→λ(μ), a velocidade escala por λ′=dλ/dμ, e Ddμdxρdμ=λ′2 Ddλdxρdλ+λ′′ dxρdλ. Escolhendo λ′′=hλ′, o que sempre tem solução, λ′=exp⁡∫h dμ, a equação perde o lado direito. Todo caminho que mantém a direção admite um parâmetro afim.

Quantos parâmetros afins Se λ e λ2 são afins, o passo anterior com h=0 dá d2λ2/dλ2=0, logo λ2=pλ+q. A liberdade é escolher a unidade e a origem.

A norma não muda A tangente é transportada, e o transporte preserva g, logo ddλ(gμνx˙μx˙ν)=0. Uma geodésica tem um único tipo ao longo de toda a curva: tipo tempo, nula ou tipo espaço. Com massa, escolhe-se λ=τ, e a norma é −c2. A luz tem norma 0 e um λ sem significado de relógio. Com λ=s, a norma é 1.

Existência A equação é uma EDO de segunda ordem com coeficientes suaves. Dados xμ(0) e x˙μ(0), há solução única, ao menos por um trecho. O trecho pode acabar: uma geodésica para na borda de uma carta, o que é defeito da carta, ou pode terminar de verdade em parâmetro finito, e é assim que se define uma singularidade.

Resultado. Geodésicas afins cumprem x¨ρ+Γμνρx˙μx˙ν=0, têm norma constante e são únicas, dados ponto e velocidade.

Agora sem conexão nenhuma: só o funcional do tempo próprio e g, com c explícito. Os símbolos de Christoffel aparecem sozinhos no passo 5.

O funcional Para curvas tipo tempo entre dois eventos fixos, com F=−gμνx˙μx˙ν>0, c τ[x]=∫F dλ. Como o comprimento na seção do tensor métrico, ele não depende do parâmetro.

Variar Para xμ→xμ+δxμ, com δx=0 nas pontas, c δτ=∫δF/(2F) dλ. Só depois de variar tome λ=τ na curva de referência: F=c, e δτ=12c2∫δF dτ,δF=−∂ρgμν uμuν δxρ−2gρν uν d δxρdτ.

Integrar por partes O termo de fronteira some, e δx fica como fator comum: δτ=12c2∫[2ddτ(gρνuν)−∂ρgμν uμuν]δxρ dτ.

Euler-Lagrange Para δx arbitrário, o colchete zera: ddτ(gρνuν)=12 ∂ρgμν uμuν. É a equação usada na seção de vetores de Killing para achar Q: se g não depende de xρ, então gρνuν é constante.

Aparece Γ Expandindo, gρνu˙ν+∂μgρν uμuν−12∂ρgμν uμuν=0. Como uμuν é simétrico, ∂μgρν pode ser trocado por sua metade simetrizada: gρνu˙ν+12(∂μgνρ+∂νgρμ−∂ρgμν)uμuν=0. O parêntese é 2Γρμν de Christoffel. Subindo ρ sai a equação geodésica. As duas definições coincidem porque a conexão é a de Levi-Civita.

Luz, e que tipo de extremo Em curvas nulas F=0, e a raiz não se deriva. Use S=∫12gμνx˙μx˙ν dλ: os mesmos passos dão a equação com λ afim, em qualquer tipo de curva. Quanto ao extremo, ele é um ponto estacionário. Entre eventos próximos, a geodésica tipo tempo tem o maior tempo próprio, como nos gêmeos, e a riemanniana tem o menor comprimento. "Próximos" é parte do enunciado: na esfera, um arco de círculo máximo maior que meia volta é geodésica e não é o mais curto.

Resultado. δτ=0, com extremos fixos, dá a mesma equação que Du/dτ=0. Para luz, a variação é a de ∫12gx˙x˙ dλ.

Ler Γ da equação

O passo 4 da variação dá um atalho muito usado: escreva L=12gμνx˙μx˙ν, faça Euler-Lagrange e leia os Γ. Na esfera, L=12a2(θ˙2+sin⁡2θ φ˙2), e sai

Contas completas

Reta em polares. As equações são r¨−rθ˙2=0 e θ¨+2r˙θ˙/r=0, com λ=s. A segunda diz que L=r2θ˙ é constante, e a norma, que r˙2+r2θ˙2=1. Então 12 d2(r2)/ds2=r˙2+rr¨=r˙2+r2θ˙2=1, logo r2=b2+(s−s0)2, com b=∣L∣. É a distância à origem ao longo de uma reta que passa a b dela. Em polares, ela parece curva: as coordenadas é que são.

Círculos máximos. Um meridiano tem φ˙=0, e θ¨=0. O equador tem θ=π/2, e φ¨=0. Um paralelo com θ0≠π/2 e φ˙≠0 não cumpre a primeira equação, pois θ¨=0 exigiria sin⁡θ0cos⁡θ0=0. É o mesmo fato que fez o transporte num paralelo girar a tangente. Em geral, ∂φ conserva L=sin⁡2θ φ˙ com a=1: uma geodésica que cruza o equador com rumo β sobre o paralelo tem L=cos⁡β e sobe até a latitude β. Toda rotação da esfera leva o equador a um círculo máximo, e estes são todas as geodésicas.

Limite newtoniano. Suponha campo fraco e estático, com x0=ct, g00=−(1+2Φ/c2), gij≈δij e velocidades v≪c. Na equação geodésica, u0≈c é o termo dominante, porque os outros têm v/c a mais. Então x¨i≈−Γ00ic2, com Γ00i=−12∂ig00=∂iΦ/c2, e sai

Órbitas circulares em Schwarzschild. Com a métrica dada, c=G=1 e f=1−2M/r, a conservação de E e L leva a r˙2=E2−V, com V=f(1+L2/r2). De V′=0 sai Mr2−L2r+3ML2=0, com raízes reais só para L2≥12M2. As duas raízes, a instável e a estável, se fundem em r=6M, com L=12 M≈3,464102 M e E=8/9≈0,942809: é a última órbita circular estável. Um observador estático mede ali a velocidade v2=M/(r−2M), ou v=0,5. Para luz, r˙2=E2−fL2/r2, e f/r2 tem máximo em r=3M, a esfera de fótons, com b=L/E=33 M≈5,196 M. O máximo é um ponto de equilíbrio instável.

Integrando no catálogo

Escolha uma métrica e solte a curva. O integrador recebe só g, um ponto e uma velocidade tirada da tétrada local, o que normaliza u desde o início. A norma e as constantes de Killing ficam como conferência. Na órbita inicial de Schwarzschild, com r=12, v=0,29 e rumo tangente, E=0,953862, L=3,636262, e a curva não fecha. Até τ=600, o desvio relativo de g(u,u), medido contra a soma dos ∣gμνuμuν∣, fica abaixo de 10−11. O botão de órbita circular em 6M repete os números acima: E=0,942809, L=3,464102, e r continua 6,00. O fóton em 3M tem b=5,196 e fica ali por várias voltas, até o arredondamento do integrador tirá-lo do equilíbrio instável. Solto do repouso em r=12, o corpo cai radialmente, e a leitura para na última amostra antes de 1,2 r+, com r+=2M o horizonte, por decisão do laboratório: o ponto é regular.

Em polares, com r=2 e rumo de 120°, a reta tem b=1,732, e r desce a esse valor e sobe. Na esfera, com rumo de 50°, L=0,642788, e θ oscila entre 40° e 140°. Em Rindler, a partícula livre é uma reta de Minkowski, e na carta ela cai em direção a ξ=0, que é só a borda das coordenadas: a leitura para na última amostra antes de ξ=0,25, ainda num ponto regular. Em FLRW e de Sitter, p=g(∂x,u) é constante enquanto ut cai: é o desvio para o vermelho da seção de vetores de Killing, agora medido na curva. Em de Sitter, a coordenada x da luz tende a um valor finito, que é a marca de um horizonte.

A curva é integrada numericamente com passo 0,01, sem usar nenhuma constante de movimento. Nos buracos negros, em FLRW e em de Sitter, c=G=1, com M=1 nos buracos negros: são métricas dadas, e a órbita fica no plano do equador, desenhada como se r,φ fossem polares. Rindler usa c=α=1 e aparece em (x,t) de Minkowski, com x=ξcosh⁡η, t=ξsinh⁡η. Em FLRW e de Sitter, o gráfico mostra a coordenada comóvel x e o tempo t. O parâmetro é o comprimento s numa superfície, τ para massa e um λ afim para a luz. A norma g(u,u) vale 1, −1 e 0 nos três casos. No segundo quadro, a coordenada que resume a curva, ou ut nas cosmologias. Os desvios são relativos: o de g(u,u) é a distância ao valor inicial dividida pela soma dos ∣gμνuμuν∣, que perto de um horizonte é muito maior que 1, e o de uma constante é dividido pelo valor inicial dela, ou por 1 se ele for nulo.