Tensor de Riemann

Em Christoffel vimos que Γ some em um ponto, em carta adequada, e que a curvatura teria de estar nas derivadas de Γ. Em transporte paralelo, ela apareceu como o giro de um vetor em torno de um laço. As duas pistas levam ao mesmo objeto, o tensor de Riemann: o comutador de duas derivadas covariantes. Esta seção o deduz, conta quantos números independentes ele tem e faz a conta à mão na esfera.

O comutador

Em funções, ∂μ∂ν=∂ν∂μ. Com a conexão sem torção, isso continua valendo em escalares, mas falha em vetores. O comutador não tem nenhuma derivada de v: ele atua em v ponto a ponto, como uma matriz.

A conta usa só a regra de um termo por índice, de Christoffel, e a simetria de Γ. Toda derivada de v se cancela, e é isso que faz de R um tensor.

A derivada de um tensor de dois índices ∇νvρ tem um índice de cima e um de baixo, logo ∇μ∇νvρ=∂μ(∇νvρ)−Γμνλ∇λvρ+Γμλρ∇νvλ.

Abrir os parênteses Com ∇νvρ=∂νvρ+Γνσρvσ: ∇μ∇νvρ=∂μ∂νvρ+(∂μΓνσρ)vσ+Γνσρ∂μvσ−Γμνλ∇λvρ+Γμλρ∂νvλ+ΓμλρΓνσλvσ.

Antissimetrizar em μ e ν Subtraia a mesma expressão com μ e ν trocados. O termo ∂μ∂νvρ é simétrico e sai. O termo Γμνλ∇λvρ sai porque a torção é zero. As parcelas Γνσρ∂μvσ+Γμσρ∂νvσ formam um par simétrico e saem também.

O que sobra Só há termos proporcionais a vσ sem derivada: [∇μ,∇ν] vρ=(∂μΓνσρ−∂νΓμσρ+ΓμλρΓνσλ−ΓνλρΓμσλ)vσ.

É um tensor O lado esquerdo é tensor para todo v, e o parêntese não depende de v. Logo o parêntese é tensor, embora nenhum de seus quatro termos seja. O termo inomogêneo da lei de Γ se cancela na soma.

Em covetores e em tensores Aplicando o comutador ao escalar wρvρ, que dá zero, sai [∇μ,∇ν]wσ=−Rρσμνwρ. Para um tensor vale um termo por índice, com + nos de cima e − nos de baixo. Como ∇g=0, aplicar isso a gρσ dá Rρσμν+Rσρμν=0, a primeira simetria abaixo.

Resultado. [∇μ,∇ν]vρ=Rρσμνvσ, com R dado só por Γ e suas derivadas primeiras, logo por g e suas derivadas até a segunda.

Simetrias e contagem

Com quatro índices, em quatro dimensões, seriam 256 números. As simetrias reduzem isso muito. Elas valem para a conexão de Levi-Civita e aparecem de uma vez em uma carta em que Γ some no ponto.

Como as identidades são entre tensores, basta prová-las em um ponto, em uma carta. Escolha a de Christoffel, em que Γ(p)=0. Com ∇g=0, vale também ∂g(p)=0.

R em segundas derivadas de g Em p, os termos em ΓΓ somem, e gρλ∂μΓνσλ=∂μΓρνσ. Pela fórmula de Γ: Rρσμν=12(∂μ∂σgρν−∂μ∂ρgνσ−∂ν∂σgρμ+∂ν∂ρgμσ).

Ler as simetrias Trocar μ e ν permuta os termos com sinal oposto. Trocar ρ e σ também. Trocar o par (ρσ) com o par (μν) devolve os mesmos quatro termos. Na soma cíclica em σμν, os doze termos se cancelam dois a dois, porque cada segunda derivada aparece com os dois sinais.

Contar os pares Cada par antissimétrico tem N=n(n−1)/2 valores. Com a troca dos pares, R é uma matriz simétrica N×N, com N(N+1)/2 números.

Tirar a soma cíclica Dadas as outras simetrias, a soma cíclica diz que a parte totalmente antissimétrica R[ρσμν] é zero. São (n4) condições, e N(N+1)2−(n4)=n(n−1)(n2−n+2)8−n(n−1)(n−2)(n−3)24=n2(n2−1)12.

Conferir por outro caminho Em p, a métrica tem (n(n+1)/2)2 segundas derivadas ∂μ∂νgρσ, simétricas nos dois pares. Mudar de carta sem mexer em g(p) nem em ∂g(p) usa as terceiras derivadas ∂3x′α, que são n⋅n(n+1)(n+2)/6 números livres. A diferença é o que nenhuma carta alcança: n2(n+1)24−n2(n+1)(n+2)6=n2(n2−1)12. Em quatro dimensões, 100−80=20.

Resultado. n2(n2−1)/12 componentes independentes: 1, 6 e 20 em dimensão 2, 3 e 4. Esse é o número de dados da curvatura que nenhuma mudança de carta apaga.

Em duas dimensões há um número por ponto: a curvatura de Gauss, com Rθφθφ=Kdet⁡g. Em três, as 6 componentes coincidem em número com as de Ricci, que aparece na próxima seção, e Ricci determina Riemann. Em quatro, Ricci tem 10, e sobram 10 que ele não vê, as do tensor de Weyl. É por isso que existe curvatura no vácuo, como a de Schwarzschild.

À mão na esfera

A receita tem quatro etapas, como a de Christoffel: parta da lista de Γ não nulos; escolha uma componente por classe de simetria, com ρ<σ e μ<ν em Rρσμν; aplique a fórmula, com λ correndo só pelos Γ da lista; confira com uma simetria ou com uma contração conhecida.

Parte dos símbolos de Christoffel: Γφφθ=−sin⁡θcos⁡θ e Γθφφ=cot⁡θ. Em dimensão dois há uma componente independente, e basta calcular uma.

Escrever a fórmula Com ρ=μ=θ e σ=ν=φ: Rθφθφ=∂θΓφφθ−∂φΓθφθ+ΓθλθΓφφλ−ΓφλθΓθφλ.

Os dois termos de derivada ∂θ(−sin⁡θcos⁡θ)=sin⁡2θ−cos⁡2θ, e Γθφθ=0 mata o segundo.

Os dois termos quadráticos Γθλθ=0 para todo λ, e o terceiro termo some. No quarto só λ=φ contribui: −ΓφφθΓθφφ=sin⁡θcos⁡θcot⁡θ=cos⁡2θ.

Somar Rθφθφ=sin⁡2θ−cos⁡2θ+cos⁡2θ=sin⁡2θ.Positivo, como a convenção exige, e a não aparece.

Baixar e comparar Rθφθφ=gθθsin⁡2θ=a2sin⁡2θ. Dividindo por det⁡g=a4sin⁡2θ, sai 1/a2, a curvatura de Gauss. O polo já não atrapalha: cot⁡θ diverge, e a razão, que é um escalar, é a mesma em todo ponto.

As outras componentes As simetrias dão o resto sem conta: Rφθθφ=−a2sin⁡2θ, e, subindo com gφφ, Rφθθφ=−1. São as duas linhas que a calculadora lista, e elas carregam um único número independente.

Resultado. Rθφθφ=sin⁡2θ, Rφθθφ=−1 e Rθφθφ=a2sin⁡2θ. Dividida por det⁡g, a curvatura é 1/a2 em toda a esfera.

Confira na calculadora. Na esfera de raio 1, com θ=60°, ela lê Rθφθφ=0,7500 e Rφθθφ=−1,000. Com a=2, as mesmas duas linhas, e só o escalar e K mudam. Em polares, o plano, não há linha nenhuma, embora Γ≠0. Em Schwarzschild, tomada como métrica dada, com c=G=1, M=1, r=6 e θ=90°, são 12 linhas, entre elas Rtrtr=0,01389 e Rθφθφ=0,3333, o valor 2M/r. A lista de Ricci fica vazia: curvatura sem Ricci. Em Minkowski e em Rindler tudo é zero, e em Kerr, com a=0,9, a lista é longa e rola dentro do próprio quadro.

Rθφθφ ao longo de θ em graus

Cálculo numérico no ponto, não simbólico: as derivadas de g saem de diferenças finitas de quarta ordem, e uma componente vale 0 quando cancela abaixo do erro estimado. Schwarzschild, Reissner-Nordström, Kerr, FLRW e de Sitter usam c=G=1, com M=1 nos buracos negros: são métricas dadas, ainda sem derivação. Minkowski usa c=1, e Rindler, c=α=1. As coordenadas sem controle não mudam nada, porque g não depende delas. Toque em uma linha da lista para ver essa componente ao longo da coordenada do gráfico; o ponto dourado é o ponto escolhido. Riemann segue a convenção de sinais de Misner, Thorne e Wheeler, em que a esfera tem R>0. Cada linha da lista é uma componente com μ<ν, e por isso há mais linhas que componentes independentes.

O laço infinitesimal

O comutador é a versão diferencial da holonomia. Um paralelogramo pequeno de lados ξμ e ην devolve o vetor mudado de uma quantidade que é o próprio Riemann contraído com o plano do laço.

Expande a equação do transporte até a segunda ordem nos lados, em volta do canto de partida, em yμ=xμ−x0μ.

A integral em volta do laço De dvρ=−Γμσρvσ dyμ, vale δvρ=−∮Γμσρvσ dyμ.

Expandir até a primeira ordem em y Γ(y)=Γ0+yν∂νΓ0, e vσ(y)=v0σ−Γνλσyνv0λ. O termo constante integra a zero num laço fechado, e fica δvρ=−(∂νΓμσρ−ΓμλρΓνσλ)vσ∮yν dyμ.

A integral do paralelogramo Somando os quatro lados, ∮yνdyμ=ξνημ−ηνξμ. Ela é antissimétrica, então só a parte antissimétrica do parêntese conta, e essa parte é 12Rρσνμ: δvρ=−12Rρσνμ(ξνημ−ηνξμ)vσ=−Rρσμν ξμηνvσ.

A rotação de um plano Para ξ e η ortogonais de comprimento ε, e v unitário no plano deles, a parte de δv nesse plano é uma rotação de ângulo α=Kε2 no sentido do percurso, com K(ξ,η)=Rρσμν ξρησξμηνg(ξ,ξ) g(η,η)−g(ξ,η)2. Em geral há também uma parte de δv fora do plano. Em Schwarzschild, com ξ na direção er^+eθ^ e η na direção eφ^, os dois planos r^φ^ e θ^φ^ têm curvaturas diferentes, e δv sai do plano de ξ e η. Numa superfície não há fora, e nos planos coordenados do laboratório essa parte é zero nesta ordem. Na esfera, K=1/a2 e sai α=KA, o resultado de transporte paralelo para qualquer laço. Como Rρσμν é antissimétrico em ρσ, δv é sempre g-ortogonal a v: a norma não muda, como pede a isometria.

Resultado. δvρ=−Rρσμνξμηνvσ até a segunda ordem nos lados. Riemann é a holonomia por unidade de área, para cada plano.

Encolha o laço. O laboratório faz a conta pelos dois caminhos, que só têm g em comum: RG.transporte carrega o vetor usando Γ, e RG.curvatura dá Riemann pelas segundas derivadas. Na esfera de raio 1, com o canto em θ=60° e ε=0,4, α=0,1740 contra Kε2=0,1600, e α/ε2=1,087. Com ε=0,05, a razão cai a 1,014, a caminho de 1. A fórmula vale no limite. O erro aqui é proporcional a ε, e vem da área: a largura em φ foi medida no canto, e o laço cerca 0,1740, não ε2=0,16. Em polares, α=0. Em Schwarzschild, com r=6, o plano θφ tem K=0,009259, o valor 2M/r3, e os planos rθ e rφ têm K=−0,004630, −M/r3: o vetor gira ao contrário. A mesma variedade tem planos de curvatura positiva e negativa num só ponto, e é isso que um número só não contaria. Gire a direção inicial: δv acompanha, e α não muda.