Ricci, escalar de curvatura

O tensor de Riemann tem 20 números por ponto em quatro dimensões, e muitas vezes bastam médias deles. Contraindo índices saem o tensor de Ricci e o escalar de curvatura. Eles não são só resumos: Ricci diz como o volume muda quando se anda numa direção, e o escalar diz, com um número, quanto falta ou sobra de volume numa bola pequena.

As contrações

De Riemann só sai um traço que não é trivial, a menos de sinal. Contrair o primeiro par dá Rρρμν=0, pela antissimetria, e contrair o primeiro índice com o último dá menos o traço que usamos. Na convenção de Misner, Thorne e Wheeler:

Na esfera, usando as componentes calculadas em Riemann: Rθθ=Rφθφθ=1 e Rφφ=Rθφθφ=sin⁡2θ. Isso é Rμν=gμν/a2, e o traço dá R=2/a2. A calculadora lê R=2,000 com a=1, e R=0,5000 com a=2. Em geral, um espaço de curvatura constante k tem Rρσμν=k (gρμgσν−gρνgσμ), e dois traços dão

Subtraindo de Ricci metade do escalar vezes g, sai o tensor de Einstein, Gμν=Rμν−12Rgμν. Ele não tem traço zero: Gμμ=(1−n/2)R, e em quatro dimensões Gμμ=−R, o traço de Ricci invertido. Ele aparece aqui só com o nome: o motivo de ser esta combinação vem das identidades de Bianchi, adiante neste módulo, e o papel dele vem no módulo Gravitação.

Ricci zero não é plano. Em Schwarzschild, tomada como métrica dada, com c=G=1, a lista de Ricci da calculadora fica vazia em todo ponto do exterior, e R=0, mas Riemann tem 12 linhas. Traços podem se anular com o tensor presente, assim como uma matriz de traço zero não é a matriz nula. Em dimensão 2 e 3 isso não acontece, porque Ricci determina Riemann, e em dimensão 4 acontece: é a curvatura do vácuo.

O que Ricci mede

Numa variedade riemanniana, tome um vetor unitário u e complete com uma base ortonormal ei. Da definição, Rμνuμuν=∑iK(u,ei): Ricci numa direção soma as curvaturas dos n−1 planos da base que contêm essa direção. Somando mais uma vez, R soma as curvaturas de todos os planos da base, cada um contado duas vezes. E essas médias têm efeito geométrico direto. As geodésicas que saem de um ponto cobrem a vizinhança, e isso dá uma carta, a das coordenadas normais: xi=r ni é o ponto a distância r na direção unitária ni. Nela o volume se calcula.

Hipóteses: g positiva definida e suave, e r menor que a distância em que as geodésicas de p começam a se cruzar. A assinatura pesa: numa métrica lorentziana, a "bola" de raio fixo não é compacta.

Geodésicas de p são retas Na carta normal, xi(s)=s ni é geodésica para todo n, logo a equação geodésica dá Γjki(x) xjxk=0. Isso implica Γ(p)=0 e, na ordem seguinte, que a soma cíclica de ∂lΓjki em ljk é zero em p.

Γ em termos de Riemann Em p, Rijkl=∂kΓlji−∂lΓkji. Somando Rijkl+Rikjl, usando a simetria de Γ e a soma cíclica do passo anterior: ∂lΓjki=−13(Rijkl+Rikjl).

Segunda derivada de g De ∂mgij=Γjmi+Γimj, derivando em p e cancelando com a antissimetria no primeiro par: ∂l∂mgij=−13(Rimjl+Riljm). A série de Taylor, com gij(p)=δij e ∂g(p)=0, dá a expansão acima.

Conferir na esfera Na direção x sobre um meridiano, a largura transversal é asin⁡(x/a), logo g⊥⊥=a2sin⁡2(x/a)/x2=1−x2/3a2+…. A fórmula dá 1−13R⊥x⊥xx2 com R⊥x⊥x=1/a2. Coincidem, e isso confere também o sinal.

O determinante Para g=δ+h com h pequeno, det⁡g=1+12δijhij+…. Com δijRikjl=Rkl, sai g=1−16Rklxkxl.

Média sobre as direções Sobre a esfera de direções, a média de nknl é δkl/n. Portanto a média de g a distância ρ é 1−Rρ2/6n: o traço de Ricci, que é o escalar, é tudo o que sobra.

Integrar no raio Com ω a área da esfera unitária de direções, V(r)=ω∫0rρn−1(1−Rρ26n)dρ=ωrnn(1−R r26(n+2)), e ωrn/n é o V0 do espaço plano.

Resultado. V(r)=V0(r)(1−R r26(n+2)+…), com R tomado no centro da bola.

Contas completas

Esfera, exata. A calota de raio geodésico r tem A=2πa2(1−cos⁡(r/a)), como em tensor métrico. Expandindo o cosseno até a quarta ordem, A=πr2(1−r2/12a2+…). Com K=1/a2, é o déficit da fórmula.

Dimensão três. Em S3 de raio a, a esfera de raio geodésico ρ tem área 4πa2sin⁡2(ρ/a), e V=2πa3(x−sin⁡xcos⁡x), com x=r/a. Expandindo, V=43πr3(1−x2/5+…). Como R=6/a2 e n+2=5, a fórmula dá 1−6r2/(6⋅5 a2). O mesmo número.

A Terra. Um disco de raio 1000 km sobre uma esfera de a=6371 km tem r2/12a2=0,00205: cerca de 0,21% a menos de área, ou uns 6400 km2 em 3,14 milhões.

No espaço-tempo. Em assinatura lorentziana não há bola, mas Ricci mantém o sentido, com outra pergunta. Solte uma nuvem pequena de partículas em repouso relativo, em queda livre, com quadrivelocidade uμ. O volume V dela começa a mudar como V¨/V=−Rμνuμuν. Com Ricci zero, a nuvem se deforma e mantém o volume nessa ordem. Em Gravitação essa frase vira equação de campo.

Medir uma bola

Compare com a calculadora. Ela leu R=2,000 na esfera de raio 1, de derivadas de g num ponto. Aqui o mesmo número sai de uma medida de tamanho finito: 32 geodésicas saem do centro, e a área dentro das pontas é integrada. Com r=0,5, a área medida é 0,7692, e a razão A/A0 é 0,9793, a mesma da forma exata. A série dá 0,9792. Invertendo a série, a razão devolve R=1,983, e com r=0,1 devolve 1,999. Em r=1,4 a razão exata é 0,8470, e a série, 0,8367: os termos seguintes já pesam. Com a=2, R cai a 0,5000, e a mesma bola fica mais perto do plano. Em H2, com r=1 e a=1, R=−2,000, e a razão é 1,086, contra 1,083 da série: excesso. Em S3, com r=1, R=6,000, e a razão é 0,8180, contra 0,8000. No plano, a razão é 1 para todo raio.

V0 é a bola de mesmo raio no espaço plano de mesma dimensão, e a é o raio de curvatura, com k=±1/a2. A curva turquesa é a razão exata nos espaços de curvatura constante, e a tracejada rosa é 1−Rr2/6(n+2). Em S2, R vem de RG.curvatura, e os pontos brancos são medidos: 32 geodésicas de RG.geodesica saem do centro, no equador, e a área dentro das pontas sai de a2∮(1−cos⁡θ) dφ. Nos outros espaços, R=n(n−1)k é dado, e o valor é o da forma fechada. Em dimensão 3 o desenho é o corte por uma superfície geodésica que passa pelo centro. H2 aparece no disco de Poincaré, em que o círculo de raio r tem raio euclidiano tanh⁡(r/2a).