Escalas de curvatura
De que tamanho é a curvatura num ponto? Um escalar responde, com uma unidade de comprimento. E ele separa o que é falha da carta do que é singularidade de verdade.
As componentes de Riemann dependem da carta, e o escalar de curvatura zera no vácuo. Para perguntar se a curvatura é grande é preciso um número que não dependa da carta nem se cancele no vácuo. O mais usado é o escalar de Kretschmann. Dele sai um comprimento, o raio de curvatura, e com esse comprimento se decide se um objeto sente a curvatura e se uma divergência na métrica é real.
Um escalar que não se cancela
A contração completa de Riemann com ele mesmo é o escalar de Kretschmann. Sua unidade é 1/comprimento4, de modo que a raiz quarta dá uma escala.
Numa métrica riemanniana, K é soma de quadrados e só zera com Riemann zero. Em assinatura lorentziana, subir índices de tempo troca sinais, e isso deixa de valer. Em Kerr, K muda de sinal fora do horizonte: com a=0,9, r=2,5 e θ=10°, a calculadora lê K=−0,06284. O raio de curvatura, nesse caso, usa ∣K∣, e um ponto onde K=0 não é um ponto plano. Por isso a lista de Riemann continua sendo a palavra final.
Usa os símbolos da lista de Christoffel, com c=G=1, e a fórmula de Riemann. Só seis números são necessários, porque em Schwarzschild a curvatura é diagonal nos pares tr, tθ, tφ, rθ, rφ, θφ.
A parte t, r Com Γtrt=f′/2f e Γrrr=−f′/2f: Rtrtr=−∂rΓtrt+ΓtrtΓrrr−ΓrttΓtrt=−f′′2f+f′22f2−f′24f2−f′24f2=−f′′2f. Esta componente diverge em f=0. Guarde isso.
A parte angular Como em Riemann, mais o termo ΓθrθΓφφr=−fsin2θ: Rθφθφ=sin2θ−cos2θ−fsin2θ+cos2θ=(1−f)sin2θ=2Mrsin2θ.
Passar ao referencial ortonormal Baixe o índice e divida por ∣gaagbb∣ a cada par. Em Rt^r^t^r^, gttgrr=−1, e o fator 1/f some: Rt^r^t^r^=f′′2=−2Mr3,Rθ^φ^θ^φ^=1−fr2=2Mr3.
As quatro restantes A mesma conta dá Rt^θ^t^θ^=Rt^φ^t^φ^=f′/2r=M/r3 e Rr^θ^r^θ^=Rr^φ^r^φ^=−f′/2r=−M/r3. Nenhuma tem 1/f: no referencial ortonormal, nada diverge quando r→2M.
Conferir Ricci Rt^t^=Rr^t^r^t^+2Rθ^t^θ^t^=−2M/r3+2M/r3=0. O mesmo em Rr^r^ e Rθ^θ^, como a calculadora mostrou em Ricci.
Somar os quadrados Cada par não nulo aparece 4 vezes em RρσμνRρσμν, pelas antissimetrias, e os dois índices de tempo sobem com sinal total positivo. Em unidades de M/r3, os seis valores são 2,2,1,1,1,1: K=4 (4+4+1+1+1+1) M2r6=48M2r6.
Resultado. K=48M2/r6, ou K=48G2M2/c4r6 com as constantes de volta. Em r=6M, K=0,001029/M4, o valor da calculadora.
A escala de maré
Na queda livre, a parte da gravidade que não some é o gradiente: dois pontos vizinhos são puxados de modo diferente. Em Schwarzschild, os números dos passos 3 e 4 são esse gradiente, e o desvio de geodésicas, mais adiante neste módulo, mostra por quê. Com c e G de volta, dois pontos a distância radial ℓ se afastam com aceleração relativa 2GMℓ/r3, e os transversais se aproximam com metade disso. Isso liga maré e Kretschmann, e dá uma segunda escala.
Singularidade de coordenada contra singularidade de curvatura
Quando um gμν diverge ou zera, há duas possibilidades. A carta pode estar falhando num ponto regular, como r=0 em polares, θ=0 na esfera e ξ=0 em Rindler, em que tudo é plano ou regular e K é finito. Ou a geometria pode ter um defeito. Um escalar como K tem o mesmo valor em toda carta, logo, se ele diverge ao longo de uma curva, nenhuma troca de carta resolve. É uma singularidade de curvatura, e esse é o caso de r→0 em Schwarzschild. O teste funciona em um sentido só: K finito não prova que o ponto é regular. Para isso é preciso exibir uma carta regular ali.
A métrica é ds2=−f dt2+dr2/f+r2dΩ2, com c=G=1. Em r=2M, gtt=0 e grr diverge. Os quatro passos mostram que isso é da carta. O estudo dos horizontes vem bem depois, e aqui só importa a regularidade.
K não percebe K(2M)=48M2/64M6=3/4M4, finito. E Rtrtr=−f′′/2f diverge: componentes de coordenada divergem junto com a carta, e o escalar não.
Trocar t Defina v por dv=dt+dr/f. Substituindo dt=dv−dr/f: −f(dv−drf)2+dr2f=−f dv2+2 dv dr−dr2f+dr2f=−f dv2+2 dv dr.
A nova métrica é regular ds2=−f dv2+2 dv dr+r2dΩ2 não tem 1/f. O bloco (v,r) tem determinante −1, logo detg=−r4sin2θ, e g é inversível em r=2M. A assinatura segue lorentziana. A carta passa por r=2M sem nenhum problema.
Em r = 0 nada ajuda K→∞ quando r→0. Como K é escalar, nenhuma mudança de carta muda isso. Há outro sinal: L=K−1/4 vai a zero, e a escala de maré, também. Espera-se que a relatividade geral deixe de valer antes disso, em escalas quânticas, e essa é outra história.
Resultado. r=2M é borda da carta (t,r), e a geometria ali é regular. r=0 é uma singularidade de curvatura.
O mesmo critério, em outros exemplos do catálogo. Em FLRW, a=t2/3, o laboratório avisa em t=0 que a curvatura diverge: K=2,963 em t=1, e cresce como 1/t4. De Sitter tem K constante e finito, 24H4. Rindler tem K=0 em toda parte, inclusive perto de ξ=0.
Números reais
Com GM⊙=1,3271244×1020 m3/s2 e c=299 792 458 m/s, a massa do Sol como comprimento é GM⊙/c2=1477 m. A fórmula vale do lado de fora de um corpo esférico. Logo acima da superfície do Sol, com R⊙=6,957×108 m, K=9,23×10−46 m−4 e L=1,81×1011 m: mais de uma unidade astronômica, e o gradiente de maré é 7,88×10−7 s−2. Numa estrela de nêutrons típica, de 1,4 M⊙ e raio de cerca de 12 km, K=6,87×10−17 m−4 e L=1,10×104 m, próximo do próprio raio. O gradiente é 2,15×108 s−2.
Um buraco negro de 10 M⊙ tem horizonte em 2,95×104 m. Ali, K=1,58×10−17 m−4, L=1,59×104 m, e o gradiente é 1,03×108 s−2: um corpo de um metro sofreria uma aceleração relativa de dez milhões de vezes a da gravidade na Terra. No horizonte de Sagittarius A*, de cerca de 4,3×106 M⊙, K=4,61×10−40 m−4, L=6,82×109 m, e o gradiente é 5,57×10−4 s−2: menos de um milímetro por segundo ao quadrado num corpo de um metro. Um horizonte não tem curvatura fixa. Em r=2M, K=3/4M4, e L≈1,07 M cresce com a massa: quanto maior o buraco, mais suave é o horizonte. A superfície de uma estrela de nêutrons tem K maior que o horizonte de um buraco de 10 M⊙.
Kretschmann contra r
Leve r até 2M e passe. O motor numérico recusa r≤2M, porque parte da carta (t,r). Por isso a curva é a forma fechada 48M2/r6, dita na tela, e os pontos brancos são o cálculo a partir de g, só fora do horizonte: em r=6, os dois dão K=0,001029. Com r=2, o laboratório lê K=0,7500, L/M=1,075 e maré 0,2500, e avisa que grr diverge: a linha rosa foge, e a turquesa passa reto. Em r=0,3, K=6,58×104 e L/M=0,06243. Mude a massa com r/M fixo: K em m−4 cai como M−4, e L cresce com M.
r = 2M: nesta carta g_tt = 0 e g_rr diverge, e K segue finita. É borda das coordenadas, não uma singularidade. O motor numérico para aqui, e K vem da forma fechada.
Usa c=G=1, e a métrica é dada. RG.curvatura recusa r≤2M, porque a carta (t,r) falha ali. Por isso a linha turquesa é a forma fechada K=48M2/r6, válida através de r=2M, e os pontos brancos são o cálculo numérico a partir de g, só fora do horizonte. A linha rosa é ∣grr∣, e o traço dourado é o r escolhido. L=K−1/4 é o raio de curvatura, e a maré é 2M/r3=K/12. Com c e G de volta, o gradiente de maré é 2GM/r3, em s−2: a aceleração relativa por metro de separação radial. A tabela usa GM⊙=1,3271244×1020 m3/s2, R⊙=6,957×108 m, e K na superfície de uma estrela é o da métrica exterior, logo acima dela.