Identidades de Bianchi

O tensor de Riemann sai de derivadas de Γ, e isso limita o que ele pode ser. Há uma identidade algébrica, que reduz o número de componentes, e uma diferencial, que amarra as derivadas de R entre si. Nenhuma das duas depende de qual métrica se escolhe, e nenhuma é equação de movimento: valem em toda variedade com a conexão de Levi-Civita. Contraída duas vezes, a segunda dá ∇μGμν=0, o fato que torna possíveis as equações de campo.

As duas identidades

A primeira já apareceu em Riemann, lida de uma carta. Aqui ela sai de outro modo, que mostra de onde vem: da simetria da segunda derivada de uma função, isto é, de a torção ser zero. A identidade tira (n4) números da contagem, nenhum em dimensão 2 ou 3, e um em dimensão 4.

Usa o comutador de Riemann em covetores, [∇μ,∇ν]wσ=−Rρσμνwρ, aplicado a wσ=∇σf.

Sem torção, a Hessiana é simétrica ∇ν∇σf=∂ν∂σf−Γνσλ∂λf, simétrica em νσ porque Γ é.

Somar o comutador em ciclo Some [∇μ,∇ν]∇σf sobre as três permutações cíclicas de μνσ. São seis termos: ∇μ∇ν∇σf−∇ν∇μ∇σf+∇ν∇σ∇μf−∇σ∇ν∇μf+∇σ∇μ∇νf−∇μ∇σ∇νf.

Cancelar em pares O primeiro e o sexto são ∇μ aplicado a ∇ν∇σf−∇σ∇νf=0. O segundo e o terceiro, e o quarto e o quinto, fazem o mesmo com ∇ν e ∇σ. A soma é zero.

Ler o resultado Pelo comutador, a mesma soma vale −(Rρσμν+Rρμνσ+Rρνσμ)∇ρf. Em um ponto, ∇ρf pode ser qualquer covetor, e o parêntese tem de ser zero.

Resultado. Rρσμν+Rρμνσ+Rρνσμ=0. A hipótese usada foi só torção zero. Com torção, o lado direito ganha termos nela.

Da segunda identidade a ∇G = 0

A segunda identidade se prova em um ponto, na carta de Christoffel em que Γ some, porque é uma equação entre tensores. A forma contraída sai depois só com ∇g=0 e as simetrias.

Fixe um ponto p e uma carta com Γ(p)=0. As derivadas de Γ em p não somem, e são elas que carregam a conta.

Riemann derivado em p Em p, ∇λ=∂λ sobre R, e os termos ΓΓ têm derivada zero, porque cada parcela da derivada contém um Γ(p): ∇λRρσμν=∂λ∂μΓνσρ−∂λ∂νΓμσρ.

Somar em ciclo Permutando λμν saem seis termos, e cada ∂∂Γ aparece duas vezes, com sinais opostos, porque as derivadas parciais comutam. A soma é zero em p. Sendo tensorial, vale em toda carta, e p é qualquer ponto.

Primeira contração Baixe ρ e contraia com gρμ, que passa por ∇. O primeiro termo dá ∇λRσν. No terceiro, Rμσλμ=−Rσλ: ∇λRσν+∇μRμσνλ−∇νRσλ=0.

Segunda contração Contraia com gσν. O primeiro termo dá ∇λR, e o terceiro, −∇νRνλ. No do meio, a antissimetria no primeiro par dá gσνRμσνλ=−Rμλ: ∇λR−2∇μRμλ=0.

Reunir em G Como ∇λR=∇μ(δλμR), isso é ∇μ(Rμλ−12δλμR)=0, e o parêntese é Gμλ. Subindo λ com g, que também passa por ∇, sai ∇μGμν=0.

Resultado. ∇μGμν=0 para toda métrica. São n relações por ponto entre as componentes de G e suas derivadas.

Duas consequências de bolso. Em dimensão 2, Rμν=12Rgμν, logo G=0 sempre, e a identidade não diz nada. Em dimensão n≥3 conexa, se Rμν=(R/n)gμν em toda parte, a fórmula acima dá ∇λR=(2/n)∇λR, e R é constante: ser isotrópico em cada ponto, com um valor que poderia variar, já obriga a ser igual em todos. Esse é o lema de Schur, e o caso n=2 é o contraexemplo: uma superfície qualquer tem Rμν∝gμν com R variável.

Por que a física precisa disso

As equações de campo vêm mais adiante, no módulo Gravitação. A estrutura delas, porém, já se lê aqui. Uma fonte de energia e momento, descrita por um tensor Tμν, tem de se conservar localmente, ∇μTμν=0. Se um tensor geométrico é igualado a T, a divergência dele precisa ser zero para toda métrica, e G tem essa propriedade de graça. Ricci sozinho não tem: de Rμν∝Tμν, a identidade daria ∇μTμν=12∇νT, e a conservação forçaria o traço T a ser constante em todo o espaço-tempo, o que não vale para matéria comum. A conservação, então, não é uma lei a mais: vem junto com a geometria. As n relações também explicam a liberdade de coordenadas: entre as dez equações em quatro dimensões, há quatro relações diferenciais, que deixam espaço para a escolha da carta.

Veja a conta fechar. A calculadora separa ∇μGμν em duas metades, a derivada parcial ∂μGμν e os termos em Γ, e mostra a soma. O número 0 exato não existe aqui: o vetor sai de diferenças finitas de g, e o que se compara é o resíduo com uma tolerância escrita no quadro. Em FLRW, com c=G=1 e a=t2/3, métrica dada, em t=1, as metades da linha t são −2,667 e 2,667, o resíduo fica perto de 10−7 e a tolerância é 2,67×10−5. Em Reissner-Nordström, com Q=0,6 e r=6, a linha r tem 1,11×10−4 e o oposto. Os dois casos têm G≠0, e a conferência diz alguma coisa. Em Schwarzschild e em Kerr, G=0, e as metades são só ruído. Na esfera, a dimensão é 2 e G=0. Em Minkowski, tudo é zero. A segunda identidade é conferida só contraída, e a primeira, pela maior das somas cíclicas.

Gtt ao longo de t

Cálculo numérico no ponto, não simbólico: as derivadas de g saem de diferenças finitas de quarta ordem, e uma componente vale 0 quando cancela abaixo do erro estimado. Schwarzschild, Reissner-Nordström, Kerr, FLRW e de Sitter usam c=G=1, com M=1 nos buracos negros: são métricas dadas, ainda sem derivação. Minkowski usa c=1, e Rindler, c=α=1. As coordenadas sem controle não mudam nada, porque g não depende delas. Toque em uma linha da lista para ver essa componente ao longo da coordenada do gráfico; o ponto dourado é o ponto escolhido. O vetor ∇μGμν não passa pela limpeza dos zeros: ele é o resíduo do cálculo e fica como sai. A tolerância é 10−5 da maior metade ou de Kˉ3/4, o tamanho típico de uma derivada de curvatura, com piso de 10−12 para o espaço plano. Kˉ soma os módulos dos termos de K, porque em Kerr o próprio K passa por zero fora do horizonte. A soma cíclica é a primeira identidade, a maior das somas Rρσμν+Rρμνσ+Rρνσμ, com tolerância de 10−5 da maior componente. A segunda identidade é conferida só na forma contraída.