As duas faces da QCD: simetria quiral e os mésons

Em Q≫ΛQCD≈200 MeV, αs é pequeno e a perturbação funciona. Em baixa energia, αs∼1: quarks e glúons confinam em hádrons, e a física é dominada pela quebra da simetria quiral.

Simetria quiral e quebra espontânea

Evidência: se a simetria quiral fosse realizada linearmente, cada hádron teria um parceiro de paridade oposta e mesma massa. Mas o parceiro do núcleon N(938) seria o N∗(1535) — 600 MeV mais pesado. A simetria está espontaneamente quebrada.

O condensado quiral

Píons como bósons de Goldstone

Este é o teorema de Goldstone em ação (veja a seção sobre simetria global e local). Com mu=md=0, a simetria SU(2)L×SU(2)R (girar independentemente os quarks de mão esquerda e direita) tem 6 geradores; o condensado ⟨qˉq⟩ só respeita as rotações iguais nas duas mãos, SU(2)V, com 3. Quebram-se 6−3=3 geradores e aparecem 3 Goldstones: π+, π−, π0. Como a simetria quiral é global (não há campo de gauge associado), os Goldstones sobrevivem como partículas. A massa pequena dos quarks quebra a simetria também explicitamente, e os píons ficam “quase” sem massa: 140 MeV contra 938 MeV do próton.

Partimos de L2 (a ordem O(p2) da teoria quiral) para SU(2) e expandimos até a ordem quadrática nos píons. A parte cinética fixa a normalização de fπ, a de massa dá mπ2, e o termo constante dá o condensado. Aqui ⟨qˉq⟩ denota o condensado por sabor, ⟨uˉu⟩=⟨dˉd⟩. Métrica (+,−,−,−).

A parametrização U=exp⁡(i τaπa/fπ) com τa as matrizes de Pauli e M=diag(mu,md). Como (τaπa)2=πaπa 1≡π2 1, a série da exponencial se soma: U=cos⁡∣π∣fπ+i τ⋅π∣π∣sin⁡∣π∣fπ ⟹ U+U†=2cos⁡∣π∣fπ 1=(2−π2fπ2+… )1.

O termo cinético fixa a normalização ∂μU≃iτa∂μπa/fπ; com tr(τaτb)=2δab: fπ24tr[∂μU∂μU†]=fπ24⋅2fπ2 ∂μπa∂μπa=12 ∂μπa∂μπa. O campo πa já é canônico, e fπ≈92 MeV é a constante em ⟨0∣Aμa∣πb⟩=ifπpμδab.

O termo de massa Como U+U†∝1, tr[M(U+U†)]=(mu+md)(2−π2/fπ2). Com o fator fπ2B0/2: fπ2B02 tr[M(U+U†)]=fπ2B0 (mu+md)−B0(mu+md)2 πaπa.

Comparar com 12mπ2π2 A Lagrangiana livre de um campo escalar tem −12mπ2πaπa. Identificando o coeficiente do passo 3: mπ2=B0 (mu+md). O píon tem massa só porque M≠0 (quebra explícita); com M=0 é um Goldstone sem massa.

O termo constante é a energia do vácuo A QCD tem L⊃−muuˉu−mddˉd, logo ∂L/∂mu=−uˉu. Pelo teorema de Hellmann–Feynman o mesmo vale para a Lagrangiana efetiva no vácuo, cujo valor é a constante do passo 3, fπ2B0(mu+md): −⟨uˉu⟩=∂∂mu[fπ2B0(mu+md)]=fπ2B0 ⟹ ⟨uˉu⟩=−fπ2B0. Eis o significado de B0: B0=∣⟨qˉq⟩∣/fπ2, como diz o texto.

GMOR Eliminando B0 entre os passos 4 e 5: fπ2 mπ2=−(mu+md) ⟨qˉq⟩. Os dois lados medem a mesma quebra: à esquerda, a rigidez do vácuo a rotações axiais (fπ); à direita, o condensado vezes a massa que o inclina.

Resultado. mπ2=B0(mu+md) e fπ2mπ2=−(mu+md)⟨qˉq⟩. Número (aritmética calculada; entradas citadas, não derivadas): com fπ=92 MeV, ∣⟨qˉq⟩∣1/3=250 MeV e mu+md=7 MeV, mπ=7⋅2503/922=114 MeV, 15% abaixo de 135 MeV, uma diferença típica da ordem seguinte da teoria. Com os valores da rede em 2 GeV (∣⟨qˉq⟩∣1/3≈272 MeV, mu+md≈6,9 MeV) e Fπ≈86,2 MeV no limite quiral, sai 137 MeV. Ou seja, a escolha de entradas muda o resultado em 20%: a fórmula é uma relação do limite quiral, não um ajuste fino.

O píon é o Goldstone da quebra quiral, e o núcleon também sente a quebra: a corrente axial Aaμ=qˉγμγ5τa2q tem elemento de matriz entre núcleons com dois fatores de forma, e a conservação dessa corrente (no limite quiral, mπ→0) obriga o acoplamento píon–núcleon a ser ligado a gA e fπ. Aproximação: limite quiral (mπ=0), pólo do píon isolado. Notação: M≡MN, q=p′−p, uˉ′=uˉ(p′).

O elemento de matriz mais geral Pela covariância de Lorentz e a paridade, entre núcleons na camada de massa: ⟨N(p′)∣Aaμ∣N(p)⟩=uˉ′[gA γμγ5+hA qμγ5]τa2 u,gA=gA(0)=1,2754.

A conservação da corrente No limite quiral ∂μAaμ=0, então qμ⟨N′∣Aμ∣N⟩=0: uˉ′[gA q̸+hA q2]γ5 u=0.

Álgebra de Dirac q̸=p̸′−p̸. Como uˉ′p̸′=Muˉ′ e p̸γ5u=−γ5p̸u=−Mγ5u: uˉ′q̸γ5u=M uˉ′γ5u−uˉ′p̸γ5u=2M uˉ′γ5u. Logo (2MgA+hAq2) uˉ′γ5u=0, isto é, hA(q2)=−2M gAq2. Um fator de forma com um pólo em q2=0 é necessário: só uma partícula sem massa pode produzi-lo.

De quem é o pólo: o píon A corrente cria um píon virtual, ⟨πb(q)∣Aaμ∣0⟩=−ifπqμδab; ele se propaga com i/q2 e é absorvido pelo núcleon com o vértice LπNN=i gπNN ψˉγ5τaψ πa (vértice de Feynman −gπNNγ5τa). O pólo do píon é (−ifπqμ) iq2 (−gπNN) uˉ′γ5τau=−fπ gπNNq2 qμ uˉ′γ5τau. (O sinal de gπNN é convenção; fixamos gπNN>0.)

Igualar resíduos Comparando com o termo hAqμγ5 τa/2 do passo 1: 12hA=−fπgπNN/q2, isto é, hA=−2fπgπNN/q2. Igualando ao passo 3: fπ gπNN=M gA ⟹ gπNN=gA MNfπ.

Leitura Uma constante de interação forte (gπNN) é igual a uma constante de decaimento fraco (gA, do decaimento β do nêutron) vezes a razão de duas massas: a massa do núcleon, em grande parte gerada pela própria quebra quiral, e fπ, que mede a quebra. É consequência da simetria, não de um modelo.

Resultado. gπNN=gAMN/fπ. Número (aritmética calculada; entradas citadas): com gA=1,2754, MN=938,9 MeV e fπ=92,2 MeV, gπNN=12,99, contra gπNN≈13,1 medido (gπNN2/4π≈13,7); o desvio de cerca de 1% é a correção de mπ≠0, da ordem mπ2/Λχ2. O pólo do passo 3 é o teorema de Goldstone em ação (seção dos Goldstones): a corrente conservada exige uma partícula sem massa.

A origem da massa da matéria

O núcleon pesa ~938 MeV, mas seus quarks de valência somam 2mu+md≈10 MeV — só ~1%. Compare próton e píon abaixo.

Dentro do próton: três quarks de valência quase sem massa (cerca de 2 a 5 MeV cada, do Higgs) presos num mar de glúons e pares virtuais. A massa vem da energia desse sistema confinado: pela decomposição calculada na QCD na rede (χQCD, 2018), cerca de 9% vem do condensado de quarks (o termo que depende de mq), 32% da energia cinética e potencial dos quarks, 37% da energia do campo de glúons e 23% da anomalia de traço. Mude as massas dos quarks: o próton quase não se mexe (no limite mq→0 ele ainda pesaria ~880 MeV). O píon é o oposto: é o bóson de Goldstone da simetria quiral, mπ2∝mq (Gell-Mann–Oakes–Renner), e sem as massas dos quarks seria exatamente sem massa.