A cor dos quarks e dos glúons

A carga da força forte se chama cor. Não tem nada a ver com cor visível: é um nome para uma carga que vem em três tipos, em vez do “+” e “−” da carga elétrica. Entender como ela funciona explica por que os glúons interagem entre si, por que não vemos quarks livres e por que a QCD é tão difícil de calcular a baixas energias.

Cada quark carrega uma de três cores, chamadas vermelho (r), verde (g) e azul (b). Cada antiquark carrega uma anticor. A regra da natureza é simples: tudo que existe livremente é branco, ou seja, neutro de cor. Isso acontece de dois jeitos: três quarks com as três cores (como o próton) ou um quark e um antiquark com cor e anticor correspondentes (como o píon).

Os glúons são os mensageiros, e aqui está a diferença com o fóton: o glúon também tem cor, uma cor e uma anticor. Quando um quark vermelho emite um glúon “vermelho-antiverde”, ele vira verde. Como os glúons têm cor, eles se atraem entre si, e as linhas de força entre dois quarks se juntam num tubo, em vez de se espalharem como no eletromagnetismo. Separar os quarks estica o tubo e custa energia proporcional à distância: por isso os quarks ficam presos.

Por que três cores

A cor foi proposta em 1964–65 (Greenberg; Han e Nambu) para salvar o princípio de Pauli. A partícula Δ++ é feita de três quarks u com os spins alinhados, num estado simétrico em espaço, spin e sabor. Para férmions idênticos isso é proibido, a menos que exista um número quântico extra em que o estado seja antissimétrico: com três cores, ϵijkuiujuk resolve. Duas medidas independentes confirmam Nc=3:

A segunda é o decaimento π0→γγ, dado pela anomalia: a taxa é proporcional a Nc2 e só concorda com a medida (7,8 eV) se Nc=3. E há uma terceira, mais profunda: com as cargas observadas dos quarks (23 e −13), as anomalias de gauge do Modelo Padrão só se cancelam com três cores (módulo Consistência quântica). Se as hipercargas pudessem mudar junto com Nc, o cancelamento seria possível para qualquer Nc; é Nc=3 que dá as cargas medidas.

Cores e anticores: o tripleto

Cada sabor de quark é um vetor de três componentes complexas no “espaço de cor”. Uma transformação de SU(3)C é uma rotação 3×3 unitária de determinante 1 que mistura as cores. O antiquark se transforma pela matriz conjugada (a representação 3ˉ).

Os oito glúons, e por que não nove

Um glúon conecta uma cor que entra a uma cor que sai: ele leva uma cor e uma anticor. Com três de cada, há 3×3=9 combinações. Mas uma delas, a soma igualitária (rrˉ+ggˉ+bbˉ)/3, é invariante por qualquer rotação de cor: é branca e não carrega carga de cor. Ela não pertence ao grupo SU(3) (seria o U(1) extra de U(3)) e não existe como glúon. Sobram oito.

Cada quark carrega uma de três cores (vermelho, verde, azul); cada antiquark, uma anticor. Ao emitir um glúon, um quark muda de cor, e o glúon leva a diferença: uma cor e uma anticor (por exemplo vermelho-antiverde). Quando outro quark absorve esse glúon, troca de cor também. Dentro de um próton as cores mudam o tempo todo, mas sempre há uma de cada: o conjunto é "branco" (um singleto de cor). Num méson, quark e antiquark trocam cor e anticor juntos. Combinações de cor-anticor dão 9 possibilidades; a combinação totalmente simétrica (rrˉ+ggˉ+bbˉ)/3 é branca e não carrega cor, então sobram 8 glúons, um por matriz de Gell-Mann.

Como o glúon troca a cor

O vértice quark–glúon vem do termo qˉ iγμDμq com Dμ=∂μ+igsλa2Gμa. Os índices de cor da matriz λaij dizem qual cor entra (j) e qual sai (i). Por exemplo, λ1 tem entradas só nas posições (r,g) e (g,r): o glúon G1 troca vermelho por verde.

O tensor de campo tem o termo não-abeliano gsfabcGμbGνc, que gera vértices de três e quatro glúons: glúons emitem e absorvem glúons. É essa auto-interação que inverte o sinal da blindagem do vácuo (antiblindagem), tornando a força fraca de perto e forte de longe.

Só o branco é livre: singletos de cor

Não é que o próton tenha “um quark vermelho, um verde e um azul” fixos: ele é a superposição antissimétrica de todas as atribuições, e as cores trocam o tempo todo por emissão de glúons. A propriedade que sobrevive é a neutralidade total.

Vermelho, verde e azul somam branco: um bárion, como o próton. Uma cor com sua anticor também soma branco: um méson, como o píon. Qualquer outra combinação tem cor líquida e o confinamento proíbe que exista isolada. As espirais são glúons trocando cor entre os quarks.

Fatores de cor: quanto cada configuração atrai

A força entre duas cargas de cor depende de como elas se combinam. O fator para um quark é o Casimir CF=(Nc2−1)/(2Nc)=4/3; para um glúon, CA=Nc=3. Para curtas distâncias, um quark e um antiquark num singleto sentem

As matrizes de cor são ta=λa/2 (a=1,…,Nc2−1), com [ta,tb]=ifabctc e tr(tatb)=12δab. Mostramos de onde vêm CF e CA para SU(Nc) e como eles decidem se um par de cargas de cor se atrai ou se repele a curta distância.

A relação de completeza (Fierz) Com o produto tr(A†B), as matrizes 1/Nc e 2 ta formam uma base ortonormal das matrizes Nc×Nc. Logo toda matriz M se escreve M=1Nctr(M)1+2 tr(Mta) ta; lendo as componentes: tija tkla=12(δilδjk−1Ncδijδkl),taMta=12 tr(M) 1−12NcM.

O Casimir do quark Contraindo j=k em tijatkla: ∑a(tata)il=12(Nc−1Nc)δil, isto é, CF=Nc2−12Nc=43(Nc=3). Conferência: tr∑atata=CFNc=12(Nc2−1)=4, o número de geradores vezes 12.

O Casimir do glúon, facdfbcd=CAδab De [tb,tc]=ifbcdtd: fbcdtd=−i[tb,tc] e facd=−2i tr([ta,tc]td). Então facdfbcd=−2 tr([ta,tc][tb,tc])=−2 tr(tatctbtc−tatctctb−tctatbtc+tctatctb). Com tctbtc=−tb/2Nc (passo 1 com tr tb=0) e tctc=CF: os quatro termos (com seus sinais) valem −δab4Nc, −CF2δab, −CF2δab, −δab4Nc. A soma é −δab(12Nc+CF)=−Nc2δab, e portanto CA=Nc=3.

Carga total de um par Dois objetos com geradores T1a, T2a (para o antiquark, Ta=−ta∗, mesmo Casimir) formam uma representação R com gerador T=T1+T2, e T2=CR. Logo CR=C1+C2+2 T1 ⁣⋅T2, isto é, T1 ⁣⋅T2=12(CR−C1−C2).

A troca de um glúon Como na eletrostática (V=αq1q2/r, repulsão para cargas iguais), a troca de um glúon de baixa energia entre as duas fontes estáticas dá V(r)=αs T1 ⁣⋅T2/r: o produto q1q2 vira o produto escalar de cor. Com o passo 4: VR(r)=αs2r(CR−C1−C2).

Os quatro canais qqˉ: 3⊗3ˉ=1⊕8 com C1=0, C8=CA=3. qq: 3⊗3=3ˉ⊕6, com C3ˉ=43 e C6=103 (fórmula C(p,q)=p2+q2+pq3+p+q de SU(3)). Com C1=C2=CF=43: Vqqˉ(1)=12(0−83)=−43,Vqqˉ(8)=12(3−83)=+16,Vqq(3ˉ)=12(43−83)=−23,Vqq(6)=12(103−83)=+13 (todos multiplicados por αs/r). Verificação: a média ponderada pela multiplicidade se anula, (1⋅(−43)+8⋅16)/9=0 e (3⋅(−23)+6⋅13)/9=0: sem preferência líquida quando a cor é ignorada. E, no bárion, cada par de quarks está em 3ˉ, com metade do potencial do singleto do méson: −23 contra −43.

Resultado. CF=Nc2−12Nc=43, CA=Nc=3, e Vqqˉ(1)=−43αsr, Vqqˉ(8)=+16αsr, Vqq(3ˉ)=−23αsr: as fórmulas do texto, mais o sextete Vqq(6)=+13αsr. Numericamente, o singleto atrai 8 vezes mais que o octeto repele (43/16=8); com αs=0,3, V(1)r=−0,40, V(8)r=+0,05.