Teorias efetivas e métodos não-perturbativos

Sem um pequeno parâmetro de acoplamento, recorre-se a simetrias, expansões alternativas e dualidades.

Chiral Perturbation Theory (ChPT)

A teoria efetiva de baixa energia da QCD: os graus de liberdade são os bósons de Goldstone (octeto π,K,η), não quarks/glúons. Expansão em potências do momento e das massas dos quarks.

Sucessos (precisão de poucos %): espalhamento ππ, decaimentos K→3π, fatores de forma de píons/kaons, polarizabilidades. Também extrapola resultados de lattice (em quarks pesados não-físicos) para as massas físicas.

O modelo de Nambu-Jona-Lasinio (NJL)

Para L=ψˉi∂̸ψ+G[(ψˉψ)2+(ψˉiγ5τψ)2], com Nc cores e Nf sabores no limite quiral m=0, mostramos que uma interação forte o bastante gera uma massa dinamicamente. Aproximações explícitas: campo médio (Hartree, exato em Nc→∞) e corte Λ no momento tridimensional (o modelo não é renormalizável). Aqui ψˉψ soma sabores e cores, de modo que ⟨ψˉψ⟩ é o condensado total.

Campo médio Escreva ψˉψ=⟨ψˉψ⟩+δ e despreze δ2: (ψˉψ)2≃2⟨ψˉψ⟩ψˉψ−⟨ψˉψ⟩2. O termo (ψˉiγ5τψ)2 não tem valor esperado no vácuo e não contribui. Então LMF=ψˉ(i∂̸−M)ψ+const,M=−2G ⟨ψˉψ⟩. Como ⟨ψˉψ⟩<0, M>0 com G>0. (Com esta normalização de G, o fator é −2G; o texto, com outra convenção, escreve 4G.)

O condensado de um campo livre de massa M A energia do vácuo de NcNf campos de Dirac livres é ε(M)=−2NcNf∫ ⁣d3p(2π)3Ep, Ep=p2+M2 (mar de Dirac: 2 spins). Como ∂L/∂M=−ψˉψ e ⟨∂H/∂M⟩=∂ε/∂M: ⟨ψˉψ⟩=∂ε∂M=−2NcNf M ⁣∫ ⁣d3p(2π)31Ep.

A equação de gap (autoconsistência) Inserindo o passo 2 no passo 1, M=4GNcNf M∫d3p(2π)31Ep. Há a solução trivial M=0 e, para M≠0: 1=4GNcNf2π2∫0Λ ⁣p2 dpp2+M2=GNcNfπ2[ΛΛ2+M2−M2ln⁡Λ+Λ2+M2M]. (A integral é 12[ΛΛ2+M2−M2ln⁡Λ+Λ2+M2M].)

Acoplamento crítico A solução M≠0 existe quando o lado direito, em M→0, passa de 1; como o colchete tende a Λ2: Gc=π2NcNf Λ2,G>Gc ⟺ M≠0. É uma quebra espontânea com limiar, como a da transição do mecanismo de Goldstone: abaixo de Gc o vácuo simétrico é estável, acima dele, o chapéu mexicano se forma.

Números Com Nc=3, Nf=2, Λ=650 MeV: GcΛ2=π2/6=1,645. Resolvendo numericamente o passo 3 para M=300 MeV, GΛ2=2,11 (G=5,00×10−6 MeV−2); então ⟨uˉu⟩=12⟨ψˉψ⟩ dá ∣⟨uˉu⟩∣1/3=247 MeV, próximo do 250 MeV usado no texto. Para M=350 MeV, GΛ2=2,23 e ∣⟨uˉu⟩∣1/3=255 MeV.

Resultado. M=−2G⟨ψˉψ⟩ e a equação de gap do passo 3: um acoplamento G>Gc=π2/(NcNfΛ2) gera massa constituinte M∼300 MeV a partir de quarks sem massa, com ⟨uˉu⟩1/3≈−247 MeV para Λ=650 MeV. O modelo não confina (não há glúons) e Λ é um parâmetro, o que é a limitação dita no texto. Ligação com os píons: o condensado é a mesma quantidade que aparece na relação GMOR.

Expansão 1/N_c e regras de soma SVZ

't Hooft (1974): tratar o número de cores Nc como parâmetro. Em Nc→∞ (com λ=gs2Nc fixo), os diagramas planares dominam, os mésons ficam estreitos e estáveis, e a topologia conecta-se à teoria de cordas / AdS-CFT. Para Nc=3, 1/Nc2≈11% explica a regra de Zweig e a hierarquia de larguras.