QCD em colisores: partons e fatorização

Em colisores, o hádron é uma nuvem de partons (quarks e glúons) carregando frações x do momento. As PDFs fi(x,Q2) codificam essa estrutura — não-perturbativas, extraídas de dados.

Com pouca energia, o próton é uma bola difusa: três quarks de valência presos numa nuvem de glúons e pares do mar, com acoplamento forte. Com muita energia, a sonda resolve distâncias de ℏc/Q, o acoplamento cai e os partons parecem quase livres: é a imagem que a fatorização com PDFs formaliza. αs(Q) a um laço com Λ≈0,2 GeV e nf=3.

Teorema de fatorização

Evolução DGLAP

A evolução DGLAP não pode mudar o momento total do próton: os partons juntos carregam sempre 100%. Mostramos que esta exigência (e a conservação do número de quarks) determina os termos δ(1−z) de Pqq e Pgg, que o texto deixa como ⋯. Notação: t=ln⁡Q2; ∂tfi=αs2π∑jPij⊗fj, com (P⊗f)(x)=∫x1dzzP(z)f(x/z); a prescrição + é ∫01dz g(z)/(1−z)+=∫01dz [g(z)−g(1)]/(1−z).

O momento do próton é uma integral de momentos A fração de momento dos partons é M=∫01 ⁣dx x[∑q(fq+fqˉ)+fg], e deve valer M=1 a qualquer Q2, isto é, ∂tM=0.

Momentos de uma convolução Trocando a ordem das integrais e mudando x=zy: ∫01 ⁣dx x (P⊗f)(x)=∫01 ⁣dz z P(z)∫01 ⁣dy y f(y). O momento de ∂tf é o produto do momento de P (um número) pelo momento de f. A regra de soma fica uma conta de integrais em z.

Conservação do número de quarks fixa δ em Pqq Com Pqq=CF[1+z2(1−z)++cq δ(1−z)], exigir ∫01Pqq dz=0 (o número de quarks de valência é conservado): ∫01(1+z2)−21−zdz=−∫01(1+z) dz=−32 ⟹ cq=32.

Momento nos quarks e no glúon: a linha dos quarks Com Pgq=CF1+(1−z)2z (um quark emite glúon), o momento deixado pelos quarks para os glúons e o perdido por eles precisam se cancelar: ∫01dz z [Pqq+Pgq]=0. As duas peças: ∫01z Pqq dz=CF[∫01z+z3−21−zdz+32]=CF[−176+32]=−43CF,∫01z Pgq dz=CF∫01[1+(1−z)2]dz=+43CF, (de z+z3−2=(z−1)(z2+z+2)). A soma é zero: o resultado é uma verificação, e confirma cq=32.

Momento na linha do glúon fixa δ em Pgg Com Pqg=TF[z2+(1−z)2] e Pgg=2CA[z(1−z)++1−zz+z(1−z)]+cg δ(1−z), exige-se ∫01dz z [Pgg+2NfPqg]=0 (o fator 2Nf conta q e qˉ de cada sabor). Os pedaços regulares: ∫01z Pggreg dz=2CA[∫01z2−11−zdz+∫01(1−z)dz+∫01z2(1−z)dz]=2CA[−32+12+112]=−116CA, 2Nf∫01z Pqg dz=2NfTF[14+112]=23NfTF. (∫z3=14 e ∫z(1−z)2=112.) Portanto cg=116CA−23NfTF=11CA−4NfTF6=β02,β0=113CA−43NfTF.

O elo com o grupo de renormalização O coeficiente do δ(1−z) do glúon é metade do primeiro coeficiente da função beta da QCD (β0 do grupo de renormalização): a mesma física, a emissão e absorção virtual de glúons, controla o running de αs e a perda de momento dos glúons. Nada foi ajustado: saiu da exigência M=1.

Resultado. Pqq=CF[1+z2(1−z)++32δ(1−z)]=CF[1+z21−z]+ e Pgg∋11CA−4NfTF6 δ(1−z). Número: Nf=5, CA=3, TF=12 dá cg=33−106=236=3,833 e β0=233=7,667, com cg=β0/2. (A forma com 32δ(1−z) é a padrão; sem esse termo, a soma de momento e o número de quarks não se conservariam.)

Por que os partons nunca saem sozinhos é o assunto de confinamento; a versão matemática da pergunta é o Problema do Milênio.