Discretização: o espaço-tempo como uma rede

A teoria perturbativa falha quando o acoplamento é grande (QCD a baixas energias). A rede de Wilson regulariza a teoria de forma não-perturbativa: um espaçamento a finito é, ao mesmo tempo, um cutoff UV Λ∼π/a.

A grade euclidiana

A matéria vive nos sítios; os campos de gauge, nos links entre sítios vizinhos. Diminua a e a malha adensa rumo ao contínuo.

Teoria de gauge U(1) de verdade numa rede periódica. A matéria moraria nos sítios; o campo de gauge mora nos links, como uma fase Uμ(x)=eiθμ(x) (a cor e o ponteiro de cada link). A plaqueta é o produto dos quatro links em volta de um quadrado, θP=θ1+θ2−θ3−θ4: é o fluxo do campo pela plaqueta, e o preenchimento mostra a ação 1−cos⁡θP. O Monte Carlo sorteia links com peso e−S, S=β∑P(1−cos⁡θP), e a média medida ⟨cos⁡θP⟩ bate com o resultado exato em 2D, I1(β)/I0(β). Aperte a transformação de gauge: todos os links giram (θμ(x)→θμ(x)+αx−αx+μ^), mas nenhuma plaqueta muda. Só o que é invariante é físico.

O algoritmo que atualiza os elos (Metropolis, balanço detalhado) está explicado em Monte Carlo.

Variáveis de link e a ação de Wilson

A derivação abaixo leva o elo à ação contínua, prova β=2N/g2, mostra por que a medida de Haar dispensa fixação de gauge, resolve exatamente o U(1) em 2D e chega à lei de área em acoplamento forte, terminando no ponto que impede isso de ser uma prova.

Do elo à ação contínua (com o resultado de BCH derivado em Yang–Mills), a medida que dispensa fixação de gauge, e dois cálculos exatos de laços de Wilson: U(1) em 2D, para todo β, e SU(N) em acoplamento forte.

Variáveis e simetria Um elo Uμ(x)∈SU(N) por aresta, Uμ(x)≈e−iagAμ(x). Gauge: Uμ(x)↦Ω(x) Uμ(x) Ω(x+μ^)†. Produtos ao longo de caminhos fechados transformam por conjugação, logo W(C)=tr⁡∏ℓ∈CUℓetr⁡Uμν(x) sa˜o invariantes.

Ação de Wilson SW=β∑x∑μ<ν(1−1NRe⁡tr⁡Uμν(x)).

Expansão para a→0 Do resultado de BCH (Yang–Mills), Uμν=eiX com X=−a2gFμν+O(a3) hermitiana. Re⁡tr⁡(iX)=0 e tr⁡F=0, então Re⁡tr⁡Uμν=N−12tr⁡X2+O(X4)=N−12a4g2tr⁡(FμνFμν)+O(a5). Os termos ímpares em a se cancelam na soma pela simetria da rede; o erro total é O(a2).

Casamento com o contínuo Com ∑xa4→∫d4x, ∑μ<ν=12∑μν e tr⁡(FμνFμν)=12FμνaFμνa: SW→βg22N∫d4x∑μ<νtr⁡Fμν2=βg28N∫d4x FμνaFμνa=!14∫FaFa ⟹ β=2Ng2. Para SU(3), β=6/g2. Limite do contínuo a→0 ⇔ g→0 ⇔ β→∞.

A medida: Haar, sem fixação de gauge Z=∫∏ℓdUℓ e−SW, com dU a medida de Haar normalizada (∫dU=1, invariante à esquerda e à direita). Numa rede finita é uma integral sobre um compacto de dimensão finita, de integrando contínuo: existe, é positiva, e ⟨⋅⟩ é uma medida de probabilidade genuína. O volume das órbitas é finito, então Faddeev–Popov e Gribov simplesmente não aparecem.

Integrais de Haar ∫dU Uij=0 (invariância por U→ωU, ω=e2πi/N no centro ZN). Para o segundo momento, M=∫dU U E U† comuta com todo V∈SU(N) (invariância), logo por Schur M=tr⁡EN1. Com E=ejk: ∫dU Uij Ukl†=1N δil δjk. Integrar um elo “cola” as duas plaquetas que o compartilham. É a regra de cálculo da expansão de acoplamento forte.

U(1) em 2D: fatoração exata Z=∫∏ℓdθℓ2π eβ∑pcos⁡θp, com θp a soma orientada dos ângulos em volta de p. Numa rede plana com borda livre, fixe o gauge axial numa árvore maximal (jacobiano 1); as variáveis de plaqueta tornam-se independentes: Z=∏p∫−ππdθp2π eβcos⁡θp=I0(β)Np,In(β)=12π∫−ππeβcos⁡θcos⁡nθ dθ.

O laço de Wilson exato: lei de área Stokes discreto (abeliano): ∏ℓ∈Ceiθℓ=∏p∈Σeiθp. Plaquetas independentes: ⟨W(C)⟩=∏p∈Σ∫dθ eβcos⁡θeiθ∫dθ eβcos⁡θ=(I1(β)I0(β))A,σa2=−ln⁡I1(β)I0(β). Para β→∞: I1/I0≈1−12β, σa2≈12β; com β=1/(e2a2), σ=e2/2, a tensão contínua de 2D. É a curva exata contra a qual o widget de medida do laço de Wilson, em Confinamento, compara a simulação.

SU(N) em 4D, acoplamento forte Expansão em caracteres: eβNRe⁡tr⁡U=c0(β)[1+∑r≠0dr ur(β) χr(U)]. Com a ortogonalidade ∫dU χr(XU)χs(U†Y)=δrsχr(XY)/dr, a primeira contribuição não nula para um laço R×T é a superfície mínima ladrilhada com caracteres fundamentais: ⟨W(R×T)⟩=uf(β)RT(1+O(β4)),σa2=−ln⁡uf(β)+…,uf≈{β/4,SU(2)β/18,SU(3). Confinamento (lei de área) é um teorema para β pequeno (Osterwalder–Seiler, 1978), com raio de convergência positivo.

Por que isso não resolve o problema O contínuo exige β→∞, muito fora do raio de convergência. Seria preciso mostrar que nenhuma transição de fase separa as duas regiões. Não é automático: U(1) em 4D tem uma transição para uma fase de Coulomb sem confinamento (Guth 1980; Fröhlich–Spencer 1982), mesmo tendo lei de área em acoplamento forte. Para SU(N), simulações não veem transição, mas isso é evidência, não prova.

Resultado. SW→14∫F2 com β=2N/g2 e erros O(a2); medida de Haar sem fixação de gauge; ⟨W⟩=(I1/I0)A exato em 2D; lei de área rigorosa em acoplamento forte em 4D. A lacuna é a ponte entre β pequeno (provado) e β→∞ (necessário).

O limite do contínuo

Resultados físicos exigem a→0 com a física fixa. Pelo grupo de renormalização, isso corresponde a g→0 (ponto fixo UV): a Λlat=exp⁡ ⁣(−1/(2β0g2))(… ) — a liberdade assintótica garante que o limite existe.

Refine a rede mantendo o tamanho físico de um glueball: o número de células cresce e o acoplamento nu precisa cair, como manda a função beta.

O círculo é um glueball, com tamanho físico fixo da ordem de 1/Λ. Cada célula da grade é uma plaqueta cujo campo flutua (cores). Diminuir a aumenta o número de células sobre o mesmo objeto físico; para que o tamanho físico não mude, o acoplamento nu precisa cair como manda a função beta: β=2N/g2≈Nb04π2ln⁡1aΛ (um laço, SU(3)). No limite, g→0 e o número de graus de liberdade vai ao infinito: é aí que uma prova precisa de cotas uniformes. Aqui Λ é a escala no esquema da rede (ΛL≈ΛMS‾/29 para SU(3)) e β vem da fórmula de um laço, ilustrativa: simulações reais usam β≈5,7 a 6,5 para a≈0,17 a 0,05 fm.

Como a função beta fixa a relação entre o acoplamento nu e o espaçamento, e como isso vira um procedimento numérico (e por que ele ainda não é uma prova).

Física fixa, a variando Uma massa medida na rede é um número am. Para que m seja constante quando a→0, g0 deve depender de a. Com μ=1/a: adg0da=−β(g0)=+b0g0316π2+b1g05(16π2)2+… Diminuir a diminui g0: o limite do contínuo está em g0→0, β=2N/g02→∞.

Integração (dois laços) Pelo mesmo cálculo da transmutação dimensional (grupo de renormalização), com ΛL a escala no esquema da rede: a ΛL=(b0g0216π2)−b1/(2b02)exp⁡(−8π2b0g02)(1+O(g02)).

Em termos de β, para SU(3) b0=11, g02=6/β: o expoente é −8π2β66≈−1,196 β. Sem o fator de dois laços, a cai pela metade a cada Δβ≈ln⁡2/1,196≈0,58; o fator βb1/(2b02)=β0,42 torna o passo um pouco maior. Na prática, β≈5,7–6,5 cobre a≈0,17–0,05 fm, onde a escala assintótica ainda tem desvios visíveis.

Erros de discretização de Symanzik A ação de Wilson difere da contínua por operadores de dimensão 6 (bloco da ação de Wilson, passo 3), sem termos de dimensão 5 para gauge puro. Para uma razão adimensional: R(a)=am1am2=R0+c a2+O(a4, a2g02). Ajusta-se R contra a2 (por exemplo m0++/σ) e extrapola-se a2→0. É o procedimento que o widget de zoom na rede, acima, ilustra.

Volume finito Numa caixa periódica de lado L, com gap m, as correções a massas de estados ligados são exponencialmente pequenas, ∝e−c mL (Lüscher). Logo é preciso a≪1/m≪L: a janela útil cresce com L/a, e o custo cresce como (L/a)4×τint.

Por que isso não é prova Cada ponto é uma estimativa estatística em (a,L) finitos; a extrapolação assume a forma R0+ca2, que só é justificada se a teoria contínua existir e a expansão de Symanzik valer. A prova exigiria cotas uniformes em a e L para as funções de Schwinger e para o gap, com a ordem dos limites controlada: primeiro L→∞ a a fixo, ou conjuntamente. Isso é exatamente o que o programa de Balaban tenta (contagem de potências e Balaban, no módulo O problema de Yang–Mills).

Resultado. aΛL∼e−8π2/(b0g02), a cai pela metade a cada Δβ≈0,6 em SU(3), erros O(a2), efeitos de volume e−cmL. Numericamente sólido; matematicamente condicional.