Monte Carlo: simulando a integral de caminho

Após a rotação de Wick, eiS→e−SE: a integral de caminho vira uma soma estatística, idêntica à mecânica estatística. Pode-se amostrá-la.

Por que sortear em vez de integrar

Uma rede modesta de 324 sítios tem ∼106 links, cada um uma matriz SU(3) com 8 parâmetros: a integral tem cerca de 107 dimensões. Nenhuma regra de quadratura funciona. Mas quase todas as configurações têm peso e−SE desprezível. A ideia de Monte Carlo é gerar uma amostra de configurações já com a probabilidade certa, p(U)∝e−SE[U]; aí a média vira uma média simples, ⟨O⟩≈1N∑kO(Uk), com erro ∼1/N, independentemente da dimensão.

Cada sítio tem um spin si=±1 e a energia é E=−J∑⟨ij⟩sisj. Para virar um spin com 4 vizinhos todos para cima: ΔE=+8J. A T=2,27J (a temperatura crítica de Onsager), a chance de aceitar é e−8/2,27≈3%. Com 2 vizinhos para cima e 2 para baixo, ΔE=0 e a virada é sempre aceita. Repetindo isso milhões de vezes, aparecem os domínios e a transição de fase, sem resolver nenhuma equação.

O exemplo do texto usa T=2,27J, a temperatura crítica de Onsager do Ising 2D, E=−J∑⟨ij⟩sisj. Vamos obtê-la sem resolver o modelo: a função de partição, expandida em alta e em baixa temperatura, é a mesma soma sobre polígonos, e o ponto auto-dual é o crítico. Seja K=J/T (kB=1), N sítios numa rede quadrada (toro) e 2N ligações; ignoramos efeitos de fronteira (limite termodinâmico).

Expansão de alta temperatura Como ss′=±1, eKss′=cosh⁡K (1+t ss′) com t=tanh⁡K. Então Z=(cosh⁡K)2N∑{s}∏⟨ij⟩(1+t sisj). Ao expandir, a soma sobre os spins zera todo termo em que algum sítio tem um número ímpar de ligações escolhidas (∑ss=0); sobrevivem os subgrafos de grau par em todo sítio (polígonos fechados), cada um valendo 2Ntℓ, com ℓ o comprimento: Z(K)=2N(cosh⁡K)2N P(t),P(x)=∑polıˊgonos Cxℓ(C).

Expansão de baixa temperatura Parta do estado ordenado (energia −2NJ, peso e2NK, duas vezes por causa da inversão global). Cada ligação com spins opostos troca eK por e−K, isto é, custa um fator e−2K. As ligações opostas formam as paredes de domínio, que são polígonos fechados na rede dual (cuja ligação cruza cada ligação da original). Então Z(K)=2 e2NK P(e−2K), com a mesma função P, porque a dual de uma rede quadrada é uma rede quadrada, com o mesmo número N de sítios.

A dualidade Dado K, defina K∗ por e−2K∗=tanh⁡K. Pelos passos 1 e 2, P(tanh⁡K)=P(e−2K∗), e portanto Z(K)2N(cosh⁡K)2N=Z(K∗)2 e2NK∗. A energia livre em K (alta temperatura) é, a menos de uma função analítica, a energia livre em K∗ (baixa temperatura). A singularidade de uma corresponde à da outra.

A forma simétrica De e−2K∗=t: sinh⁡2K∗=12(t−1−t)=1−t22t, e sinh⁡2K=2t1−t2. Logo sinh⁡2K sinh⁡2K∗=1. A dualidade troca K grande por K pequeno, e tem um ponto fixo K∗=K.

O ponto auto-dual Se há uma única temperatura crítica (confirmado pela solução de Onsager), ela é o ponto fixo da dualidade: sinh⁡2Kc=1, isto é, K∗=K, ou tanh⁡K=e−2K. Com t=tanh⁡K tem-se e−2K=1−t1+t, logo t=1−t1+t, t2+2t−1=0 e t=2−1: Kc=12ln⁡(1+2)=0,44069,Tc=JKc=2Jln⁡(1+2)=2,2692 J.

O teste de Metropolis do texto Virar um spin com 4 vizinhos alinhados custa ΔE=8J. Em Tc, a probabilidade de aceitação é e−ΔE/Tc=e−8/2,2692=0,0294≈3%, como no texto. Abaixo de Tc quase nenhum vira (ordem); acima, muitos viram (desordem); em Tc o sistema fica entre os dois.

Resultado. sinh⁡2Kc=1, Tc=2J/ln⁡(1+2)=2,2692 J, aceitação 2,9% para ΔE=8J. Aproximação: o argumento pressupõe uma única singularidade e despreza as correções de fronteira e de laços não triviais do toro (irrelevantes no limite N→∞). A mesma ideia de dualidade, aplicada às teorias de gauge na rede, relaciona acoplamento forte e fraco (discretização).

Amostrar todo o espaço de configurações é inviável; a amostragem por importância (algoritmo de Metropolis) gera configurações já distribuídas ∝e−SE. Ajuste a temperatura e observe a termalização e a transição de fase.

Modelo de Ising 2D, 64×64 spins, com o mesmo algoritmo da QCD na rede: propor uma mudança e aceitá-la com probabilidade min⁡(1,e−ΔS), aqui S=−β∑⟨ij⟩sisj. Acima de Tc=2/ln⁡(1+2)≈2,269 os spins ficam desordenados; abaixo, formam domínios e a magnetização aparece espontaneamente (quebra de simetria s→−s). Resfriar devagar varre a temperatura e marca ∣m∣ medido, que segue a solução exata de Onsager (curva). Perto de Tc os domínios ficam de todos os tamanhos: flutuações críticas, a mesma física do limite do contínuo na rede.

Grupo de renormalização por blocos

A ideia que tornou o limite do contínuo pensável veio desse mesmo modelo. Agrupe spins em blocos e pergunte que teoria descreve os blocos: abaixo da temperatura crítica o agrupamento converge para ordem, acima apaga a estrutura, e exatamente em Tc a imagem parece igual em todas as escalas. Um limite do contínuo é uma trajetória que sai de um ponto fixo assim. A simulação abaixo usa aglomerados de Wolff, que não sofrem a desaceleração crítica do Metropolis; a equação de Callan–Symanzik correspondente está no grupo de renormalização.

Um modelo de Ising 128×128 simulado de verdade (aglomerados de Wolff). Cada painel seguinte troca blocos 2×2 por um único spin, pela regra da maioria: é a transformação de Kadanoff. Abaixo de Tc o agrupamento converge para ordem (ponto fixo de temperatura zero); acima, apaga a estrutura (ponto fixo de temperatura infinita); exatamente em Tc=2/ln⁡(1+2)≈2,269 os painéis parecem estatisticamente iguais: o ponto fixo crítico. O limite do contínuo de uma teoria de campos é uma trajetória que sai de um ponto fixo assim; para Yang–Mills, o ponto fixo é o gaussiano g=0.

O que a rede entrega

Massas de prótons, píons e ressonâncias a partir só das constantes da QCD — concordância de poucos % com o experimento.

A peça não-perturbativa do momento magnético do múon, no centro da tensão atual entre teoria e experimento.

A transição de desconfinamento e o plasma de quarks-glúons (universo primordial, colisões de íons pesados).

Tudo o que esta parte calcula pressupõe uma teoria contínua que ainda não foi construída rigorosamente. O módulo O problema de Yang–Mills explica o que falta: o Problema do Milênio de Yang–Mills.