Férmions na rede e o problema dos duplicadores

A discretização ingênua da ação de Dirac introduz duplicadores: estados espúrios no canto da zona de Brillouin. Alterne o termo de Wilson abaixo.

Tomamos a ação ingênua do texto em espaço euclidiano (γμ hermitianas, {γμ,γν}=2δμν), passamos ao espaço dos momentos e contamos os zeros do propagador inverso na zona de Brillouin pμ∈(−π/a,π/a]. Depois mostramos como o termo de Wilson levanta a degenerescência.

Fourier da derivada simétrica Com ψ(x)=∫ddp(2π)deipxψ(p), a diferença central vira ψ(x+aμ^)−ψ(x−aμ^)2a→eiapμ−e−iapμ2aψ(p)=iasin⁡(apμ) ψ(p). Portanto S−1(p)=ia∑μγμsin⁡(apμ)+m. No contínuo, sin⁡(ap)→ap e S−1=ip̸+m.

Os zeros Para m=0, S−1(p)=0 exige sin⁡(apμ)=0 para cada μ, isto é, pμ∈{0,π/a} (−π/a é equivalente a π/a). Há duas escolhas por direção e, em d dimensões, #zeros=2d → d=4 16.

Cada zero é um férmion de Dirac Seja A o conjunto das direções com pμ=π/a e p=πA+k, k pequeno. Então sin⁡(π+akμ)=−sin⁡(akμ) para μ∈A, e S−1≃i∑μγμ(A)kμ,γμ(A)=sμγμ,sμ={−1μ∈A+1μ∉A. As γμ(A) satisfazem a mesma álgebra de Clifford, então cada canto é um férmion de Dirac comum.

Quiralidades opostas Mas a quiralidade do doubler muda: γ5(A)=γ1(A)γ2(A)γ3(A)γ4(A)=(−1)∣A∣γ5. O número de cantos com ∣A∣=n é (4n): ∑n=04(4n)=1+4+6+4+1=16,∑n=04(−1)n(4n)=1−4+6−4+1=0. Há 8 férmions de cada quiralidade. A soma das quiralidades é nula, como exige o teorema de Nielsen–Ninomiya: com uma ação local e invariante de translação, os zeros de S−1 sobre a zona de Brillouin (um toro) têm carga topológica total zero, então não há como ficar com um férmion de uma só quiralidade.

O termo de Wilson levanta os duplicadores Some ra∑μ(1−cos⁡apμ) ao propagador inverso. Em um canto com ∣A∣=n, cos⁡(π+akμ)≃−1 em n direções, então ra∑μ(1−cos⁡apμ)→2nra: Mn=m+2n ra,n=0,1,2,3,4(multiplicidades 1,4,6,4,1). Só o canto n=0 permanece leve; os outros 15 têm massa ∼1/a e desacoplam em a→0. O preço: o termo de Wilson é uma massa dependente do momento, que quebra a simetria quiral explicitamente.

Staggered: dividir por 2d/2 Com a mudança de variável ψ(x)=γ1x1γ2x2γ3x3γ4x4χ(x) (xμ em unidades de a), a ação ingênua se torna diagonal no spin: são 2d/2=4 cópias idênticas de uma ação para χ com uma só componente. Guardando uma única cópia, sobra 1/4 dos graus de liberdade: as 16 réplicas viram 16/4=4 gostos (tastes), como diz o texto.

Resultado. Em d dimensões a ação ingênua descreve 2d férmions, com (dn) de quiralidade (−1)n; em d=4: 16=1+4+6+4+1, 8 de cada quiralidade. Com Wilson, Mn=2nr/a. Número: para a=0,1 fm, 2/a=2×0,19733/0,1=3,95 GeV, a massa do primeiro nível de duplicadores (n=1, r=1); os de n=4 pesam 15,8 GeV.

Na rede, a derivada vira uma diferença e a energia de um férmion livre fica E(p)=sin⁡2(ap)/a2+M2. O seno zera em p=0 e na borda p=π/a: aparece uma segunda partícula leve, o duplicador. No plano 2D do meio (a zona de Brillouin), os pontos claros são os mínimos: 4 em 2D, 24=16 em 4D. Embaixo, dois pacotes que, sem o termo de Wilson, têm a mesma energia: o físico perto de p=0 e o duplicador perto de p=π, que anda para trás (velocidade de grupo dE/dp<0). O termo de Wilson soma r(1−cos⁡ap)/a à massa: em p=π os duplicadores ficam com massa ∼2r/a, que vai ao infinito no contínuo, ao custo de quebrar a simetria quiral (teorema de Nielsen–Ninomiya).

As saídas — cada uma com seu preço

Adiciona ∝(1−cos⁡ap): dá massa ∼1/a aos duplicadores. Preço: quebra a quiralidade explicitamente.

Distribui as componentes de spin pelos sítios: reduz 16→4 "gostos". Mantém uma quiralidade residual.

Reescreve Dirac com formas diferenciais Φ=∑pΦp (0,1,…,4-formas). Geometricamente natural na rede — e equivalente aos staggered após diagonalizar o spin.

Satisfazem a relação de Ginsparg–Wilson: quiralidade exata na rede. Preço: caros computacionalmente.

Os férmions de Kähler–Dirac são especialmente elegantes: a equação de Dirac vira (d−δ)Φ=mΦ para uma forma diferencial inomogênea Φ, com d a derivada exterior e δ sua co-derivada. Na rede, as p-formas vivem naturalmente em sítios, links, plaquetas, cubos e hipercubos — e a construção reproduz exatamente os férmions staggered. Recentemente reexplorados em conexão com simetrias e anomalias na rede.