Confinamento e o loop de Wilson

O loop de Wilson W(C) é o transporte paralelo ao redor de um retângulo r×T. Seu valor esperado revela o potencial estático entre um quark e um antiquark.

Lei da área × lei do perímetro

Se ⟨W⟩∼e−σ (r T) (lei da área), então V(r)=σr — cresce sem limite: confinamento. Se decaísse com o perímetro, teríamos cargas livres. Afaste o par e veja o tubo de fluxo.

Entre duas cargas elétricas, as linhas de campo se espalham pelo espaço e a energia satura: dá para separá-las. Entre quark e antiquark, os glúons se atraem e o campo de cor colapsa num tubo de fluxo de largura fixa: a energia cresce linearmente, V(r)=−43αsℏcr+σr, com tensão σ≈0,9 GeV/fm (potencial de Cornell, confirmado na QCD na rede). No loop de Wilson, um retângulo r×T no espaço-tempo, isso aparece como lei da área, ⟨W⟩∼e−σrT. Puxe o par: perto de 1,3 fm a corda guarda energia suficiente para criar um par qqˉ do vácuo, a corda quebra e surgem dois mésons. Por isso nunca se vê um quark isolado.

Abaixo, o loop de Wilson medido numa simulação de verdade: a lei da área aparece nos dados.

Uma simulação de verdade: teoria de gauge U(1) numa rede 24×24 periódica, amostrada por Metropolis. A cada varredura mede-se o loop de Wilson W(R×T), o produto dos links em volta de retângulos de todos os tamanhos de 1×1 a 4×4, em todas as posições. À esquerda, um retângulo sendo medido; à direita, −ln⁡⟨W⟩ contra a área R⋅T. Os pontos caem numa reta: isso é a lei da área, a assinatura do confinamento, e a inclinação é a tensão da corda σ. Neste modelo em 2D o resultado exato é conhecido, ⟨W⟩=(I1(β)/I0(β))RT (linha tracejada), e a simulação o reproduz. Em 4D, com SU(3), é este mesmo cálculo que mostra que quarks não escapam.

O texto dá V(r)=σr (mais um Coulomb de cor). Mas um tubo de fluxo de comprimento r é uma corda quântica: suas vibrações transversais têm energia de ponto zero que depende de r. Mostramos que isso dá uma correção universal −π(D−2)/24r, sem parâmetros. Aproximação: corda de Nambu–Goto expandida até a ordem quadrática (campo livre) e ℏ=c=1; a lei da área é a derivação já feita no acoplamento forte.

A ação da corda O tubo entre o quark em x=0 e o antiquark em x=r tem tensão σ. Com deslocamentos transversais hi(x,t), i=1,…,D−2, a ação é −σ vezes a área do mundo-superfície, e para deslocamentos pequenos: S=−σ ⁣∫0T ⁣dt ⁣∫0r ⁣dx1+(hi′)2−h˙i2≃−σrT+σ2 ⁣∫ ⁣dt dx (h˙i2−(hi′)2). O primeiro termo é V=σr. O segundo é, para cada i, um campo livre sem massa, com hi=0 nas extremidades (quarks fixos).

Os modos Com condição de Dirichlet em x=0,r, os modos são sin⁡(nπx/r), n=1,2,…, cada um um oscilador com ωn=nπr.

A energia de ponto zero Cada oscilador tem 12ωn. Somando os D−2 campos transversais, a energia do estado fundamental é E0=D−22∑n=1∞ωn, divergente. Regularize com um corte suave e−ωn/Λ, ε=π/(rΛ): ∑n≥1n e−nε=−ddε1eε−1=1ε2−112+O(ε2). Então 12∑ωne−ωn/Λ=π2r[r2Λ2π2−112]=Λ2r2π−π24r.

Renormalizar a tensão O termo divergente é ∝r: é um deslocamento da tensão, σ→σ+(D−2)Λ2/2π, absorvido na tensão medida (a mesma lógica da renormalização). Resta o termo finito e independente do corte, que equivale a ∑n=ζ(−1)=−112 (a mesma soma do efeito Casimir da seção de regularização): V(r)=σr+μ−π (D−2)24 r →D=4 σr+μ−π12 r. (μ é uma constante, a energia própria das extremidades.) O sinal é atrativo, como o Casimir entre placas: a quantização reduz a energia.

Comparar com o Coulomb de cor O termo de Lüscher é um −e/r com e=π/12=0,262, mesma forma do Coulomb −43αs/r do texto, mas com um coeficiente fixo. A literatura de rede reporta este termo a distâncias longas, enquanto a curtas distâncias domina o Coulomb de cor com αs correndo (resultado citado, não recalculado aqui).

A corda exata e o seu limite de validade Quantizando a corda de Nambu–Goto sem expandir (válido em D=26, aproximado em D=4) o fundamental tem energia E0=σr1−π(D−2)12σr2, cuja expansão reproduz o passo 4: σr−π(D−2)24r. A raiz fica imaginária (um táquion) para r<rc=π(D−2)/12σ, onde a imagem de corda fina deixa de valer.

Resultado. V(r)=σr+μ−π12r em D=4. Números (com σ=0,18 GeV2 do texto, ℏc=0,19733 GeV fm): σ=0,424 GeV; a r=1 fm, σr=0,912 GeV e o termo de Lüscher vale −0,052 GeV (−5,7% do linear); rc=π/(6σ)=1,706 GeV−1=0,337 fm.

Por que um tubo e não um campo que se espalha? No eletromagnetismo, as linhas de campo entre duas cargas se abrem no espaço, e a energia cai com a distância. Os glúons carregam cor e se atraem: as linhas de campo de cor se puxam umas às outras e se comprimem num tubo de seção constante (cerca de 0,5 fm de largura). A energia por comprimento, a tensão σ, fica constante, e a energia total cresce linearmente com r. Quando ela passa de ∼2mq, é mais barato criar um par quark–antiquark do vácuo e quebrar o tubo em dois hádrons brancos do que continuar esticando.