A quebra espontânea de simetria

Com μ2>0, o mínimo do potencial não está na origem. O campo de Higgs adquire um valor esperado no vácuo e a simetria SU(2)L×U(1)Y se reduz a U(1)em. Solte a bolinha e veja-a escolher uma direção no vale — a quebra espontânea em ação.

Pense num lápis equilibrado de ponta: a situação é perfeitamente simétrica (ele pode cair para qualquer lado), mas instável. Ao cair, ele escolhe uma direção, e o estado final não é mais simétrico, embora as leis da física continuem sendo. Isso é quebra espontânea de simetria.

Com o Higgs foi igual: no universo primordial quente, o campo oscilava em torno de zero; ao esfriar (cerca de 10−11 s após o Big Bang), ele caiu no vale do potencial. A partir daí, três dos quatro campos do Higgs viraram a terceira polarização dos W± e do Z, que ganharam massa; o quarto é o bóson de Higgs; e o fóton, que corresponde à direção que o vácuo não quebrou, continua sem massa.

A bolinha obedece ϕ¨=−∇V−γϕ˙, com ϕ=(ϕ1+iϕ2)/2 e o potencial do texto, V=−μ2∣ϕ∣2+λ∣ϕ∣4=−12μ2ρ2+14λρ4, onde ρ2=ϕ12+ϕ22; o vale fica em ρ=v=μ/λ. Solta do topo, ela cai numa direção aleatória: todas as direções do vale são vácuos igualmente bons. Empurrada para fora, ela oscila com frequência 2 μ=mH: essa excitação massiva é o bóson de Higgs. Empurrada ao longo do vale, não há força de volta: é o modo sem massa de Goldstone. No Modelo Padrão os três Goldstones do dubleto são absorvidos pelos W± e Z. Arraste a figura para girar.

Simulação de verdade: 96 células de um campo escalar real φ (o módulo do Higgs no gauge unitário, ϕ†ϕ=φ2/2) com o mesmo potencial do texto, V=−12μ2(T) φ2+14λφ4, e a correção térmica de ordem mais baixa μ2(T)=μ2 (1−T2/Tc2), evoluindo por dinâmica de Langevin (atrito mais ruído térmico). Cada ponto na curva é uma célula; a bola branca é uma delas. Acima de Tc o único mínimo é ϕ=0. Abaixo, ϕ=0 vira um topo instável e cada região do universo rola para +v ou −v por conta própria: surgem domínios separados por paredes. O Higgs real é um dubleto complexo, então o vácuo é um círculo inteiro (veja o chapéu 3D) e não há paredes estáveis. O mínimo fica em v(T)=μ(T)/λ e as pequenas oscilações em torno dele são o bóson de Higgs, com mH2=V′′(v)=2μ2=2λv2, a mesma relação mH=2λ v do texto. Ressalva: este é o modelo de campo médio; com mH=125 GeV, as simulações na rede mostram que a transição eletrofraca real não tem salto, é um crossover suave perto de T≈160 GeV.

O texto diz que o campo de Higgs "caiu no vale" cerca de 10−11 s após o Big Bang. Vamos obter a relação tempo-temperatura de um universo dominado por radiação e inserir a temperatura da transição eletrofraca. Unidades ℏ=c=kB=1: massa = energia = temperatura = tempo−1; G=1/MPl2, MPl=1,221×1019 GeV. Hipótese: radiação dominante, equilíbrio térmico, todas as partículas do modelo relativísticas (aproximação para T perto da massa do top).

Energia de um grau de liberdade bosônico Para um bóson sem massa (Bose–Einstein), ρb=∫d3k(2π)3kek/T−1=T42π2∫0∞x3 dxex−1. Com ∫0∞x3dxex−1=π415: ρb=π230 T4,ρf=78 ρb (Fermi–Dirac). Para férmions, o fator 78 vem de ∫x3/(ex+1)=78⋅π415.

Contar g∗ no Modelo Padrão Bósons: fóton 2, glúons 8×2=16, W± 2×3=6, Z 3, Higgs 1: 28. Férmions (partícula e antipartícula): 6 quarks × 3 cores × 2 spins × 2 =72, 3 léptons carregados × 2 × 2 =12, 3 neutrinos × 1 helicidade × 2 =6: 90. g∗=28+78×90=106,75,ρ=π230 g∗ T4.

A equação de Friedmann Universo plano: H2=8πG3ρ. Substituindo ρ: H=8π3g∗90 T2MPl=1,66g∗ T2MPl.

De H ao tempo Com ρ∝a−4, a∝t1/2 e H=a˙/a=1/(2t), donde t=1/2H: t=12H=4516π3 MPlg∗ T2=0,301 MPlg∗ T2.

A temperatura da transição No campo médio da seção, a transição ocorre quando o termo térmico 12cT2ϕ2 cancela −12μ2ϕ2, Tc=μ/c (ordem de 100–160 GeV, potencial efetivo). Usamos T≈160 GeV, aproximadamente o valor de cruzamento obtido em cálculos de rede (valor citado, não calculado aqui).

Número Com g∗=106,75, T=160 GeV: t=0,301 1,221×1019 GeV106,75 (160 GeV)2=1,39×1013 GeV−1 ⇒ t=1,39×1013×6,58×10−25 s=9,1×10−12 s. Em geral t∝T−2: T=100 GeV dá 2,3×10−11 s e T=200 GeV, 5,9×10−12 s. Se o top (173 GeV) já tivesse saído do banho térmico, g∗ cairia para 96,25 e t subiria 5%: dentro da aproximação.

Resultado. t=0,301 MPl/(g∗ T2) com g∗=106,75 no Modelo Padrão acima de ∼200 GeV; a transição de Higgs em T∼160 GeV ocorre em t≈9×10−12 s, isto é, ∼10−11 s, o valor do texto. A estimativa supõe radiação pura (matéria não relativística e constante cosmológica são desprezíveis nessa época), equilíbrio térmico e g∗ constante.

Todas as partículas recebem o mesmo momento, 100 GeV. A velocidade é β=p/p2+m2 e a massa é m=y v/2 (férmions), mW=g v/2 e mh=2λ v. Todas escalam com v. Com v=0 tudo viaja à velocidade da luz. O brilho em volta de cada partícula indica o quanto ela acopla ao campo. Para especialistas: a imagem de “melado” é só uma analogia. Não há atrito nem perda de energia: a massa é um termo na Lagrangiana após a quebra de simetria.

Contagem de graus de liberdade

Antes da quebra: o dubleto de Higgs tem 4 campos reais e os 4 bósons de gauge W1,2,3,B não têm massa, cada um com 2 polarizações transversais: 4+4×2=12. Depois: um campo rola para o vale e vira o Higgs físico h; os outros 3 são os Goldstones, que viram a polarização longitudinal de W± e Z. Massivos, esses bósons passam a ter 3 polarizações e andam mais devagar que a luz; o fóton continua com 2: 1+3×3+2=12. Nenhum grau de liberdade some, só muda de dono.

Os três graus de liberdade que “passam” do Higgs para W+, W− e Z são bósons de Goldstone. A próxima seção explica de onde eles vêm, por que numa simetria global seriam partículas sem massa e como, numa simetria local, viram a polarização longitudinal dos bósons massivos.

Contamos os graus de liberdade (estados de polarização independentes) do setor eletrofraco antes e depois da quebra. Os glúons (sem massa nos dois lados) e os férmions (veja o passo 5) ficam de fora. Primeiro deduzimos, das equações de campo, quantos estados tem um vetor sem massa e um com massa. Depois mostramos que o modo "longitudinal" extra do W se comporta, a alta energia, como o escalar de Goldstone comido. Métrica (+,−,−,−).

Vetor sem massa: 2 Maxwell, ∂μFμν=0, é □Aν−∂ν(∂⋅A)=0. A liberdade de gauge Aμ→Aμ+∂μχ permite impor a condição de Lorenz ∂⋅A=0 (□χ=−∂⋅A), o que tira 1 das 4 componentes; sobra ainda χ com □χ=0, que remove mais 1 (por exemplo A0=0). Estados independentes: 4−1−1=2, as polarizações transversais (helicidades ±1).

Vetor com massa: 3 A equação de Proca é ∂μFμν+m2Aν=0. Aplicando ∂ν, o primeiro termo se anula (F é antissimétrico) e m2 ∂⋅A=0: para m≠0 a condição de Lorenz sai da própria equação, e não há mais liberdade de gauge. Fica 4−1=3 componentes independentes (momento k fixo: três polarizações, as duas transversais mais a longitudinal).

Antes da quebra: 8+4=12 Quatro vetores sem massa W1,W2,W3,B, com 2 cada, e o dubleto de Higgs com 4 escalares reais: Nantes=4×2+4=12.

Depois da quebra: 9+2+1=12 W+,W−,Z com massa (3 cada), γ sem massa (2) e um escalar físico h (1): Ndepois=3×3+2+1=12. Contabilidade: cada bóson massivo ganhou +1 polarização (+3) e o escalar perdeu três (4→1, −3). Os três escalares removidos (os Goldstones, próxima seção) viraram as três polarizações longitudinais. Nada foi criado nem destruído.

Contraste: o que seria uma quebra global Se a simetria fosse só global (sem campos de gauge), os 4 escalares dariam 1 Higgs + 3 Goldstones sem massa, três partículas reais de massa nula que não existem na natureza. Com a simetria local, esses três graus de liberdade não são partículas independentes: são as polarizações extras dos vetores. O total de estados é o mesmo, 12, mas a lista de partículas muda.

Os férmions não mudam de contagem Por exemplo, o elétron antes da quebra: eL e eR são dois campos de Weyl independentes, 2 estados cada (partícula) e 2 (antipartícula). Depois, um campo de Dirac massivo: 4 componentes, também 2+2 estados de spin para partícula e antipartícula. O termo de massa Yukawa apenas acopla eL a eR.

A polarização longitudinal é o Goldstone (alta energia) Um W com momento kμ=(E,0,0,k), E2=k2+m2, tem polarização longitudinal εLμ=(k,0,0,E)/m, que satisfaz εL⋅k=(kE−Ek)/m=0 e εL2=(k2−E2)/m2=−1. Subtraindo kμ/m: εLμ−kμm=(k−E, 0, 0, E−k)m=−mE+k (1,0,0,−1),pois E−k=m2E+k. Logo εLμ=kμ/m+O(m/E). O termo kμ/m é do tipo "gradiente" (∂μ de um escalar, como Aμ′=Aμ−∂μπ/(ev) na seção seguinte): pela identidade de Ward, a amplitude de WL a E≫mW iguala a do escalar comido. Numérico: para E=1 TeV e mW=80,4 GeV, as componentes de εL valem k/m≈12,4 e a correção é m/(E+k)=0,040: o erro relativo de trocar εL por k/m é m2/[k(E+k)]≈0,3%.