Simetria global, simetria local e os bósons de Goldstone

Duas perguntas parecem técnicas, mas decidem a física: a simetria é global ou local? E ela é respeitada pelo vácuo, ou só pelas equações? As quatro combinações dão fenômenos muito diferentes: leis de conservação, forças de longo alcance, partículas sem massa (Goldstone) e bósons massivos (Higgs).

Imagine uma multidão de bússolas, uma em cada ponto do espaço. Uma simetria global é girar todas as bússolas pelo mesmo ângulo ao mesmo tempo: se a física não muda, existe uma quantidade conservada (Noether). Uma simetria local é poder girar cada bússola por um ângulo diferente. Isso só é possível se houver algo que diga como comparar a direção de uma bússola com a da vizinha: esse “algo” é um campo de gauge, e é ele que transmite a força.

Agora suponha que o estado de menor energia escolha uma direção (todas as bússolas apontando para o norte). As leis continuam simétricas, mas o vácuo não: a simetria está espontaneamente quebrada. Girar todas as bússolas juntas não custa energia, então uma onda longa e suave de rotação custa quase nada: é uma partícula sem massa, o bóson de Goldstone. Se a simetria for local, essa rotação pode ser “desfeita” ponto a ponto pelo campo de gauge: o Goldstone desaparece como partícula e reaparece como a terceira polarização de um bóson de gauge que agora tem massa. Esse é o mecanismo de Higgs, e é por isso que W± e Z são pesados.

Global × local

Por que a versão local exige um campo novo? A derivada compara o campo em dois pontos vizinhos, ∂μψ≈[ψ(x+dx)−ψ(x)]/dx. Se as fases em x e x+dx podem ser escolhidas independentemente, essa diferença deixa de ter significado: ela muda só porque mudamos a convenção. É preciso um “transporte” que leve ψ(x) até x+dx antes de comparar; esse transporte é e−ieAμdxμ, e Aμ é o campo de gauge. Geometricamente, Aμ é uma conexão e o tensor Fμν é a sua curvatura.

Quebra espontânea de uma simetria global: o teorema de Goldstone

Tome um campo complexo ϕ=12(ϕ1+iϕ2) com o potencial do chapéu mexicano V=−μ2∣ϕ∣2+λ∣ϕ∣4. A Lagrangiana é invariante pela rotação global ϕ→eiαϕ, mas o mínimo é um círculo de raio v/2, com v=μ/λ. O vácuo escolhe um ponto do círculo, e escrevemos o campo em torno dele em coordenadas polares:

O termo de massa de π some porque o potencial só depende de ∣ϕ∣, e π muda apenas a fase. Isso é geral (Goldstone, 1961): para cada direção da simetria que o vácuo quebra, existe uma partícula escalar sem massa. Se o grupo tem nG geradores e o vácuo é invariante por nH deles, aparecem nG−nH Goldstones.

Tomamos N campos reais ϕi, ρ≡ϕiϕi, e o potencial do chapéu mexicano nesta seção, V=−12μ2ρ+14λρ2 (para N=2, ϕ=(ϕ1+iϕ2)/2 e V=−μ2∣ϕ∣2+λ∣ϕ∣4; para N=4, o dubleto de Higgs), invariante por O(N). Mostramos: (i) a Hessiana no vácuo tem N−1 autovalores nulos e um valor 2μ2; (ii) isso é consequência só da simetria, não do potencial particular; (iii) o número de Goldstones é dim⁡G−dim⁡H.

Gradiente e vácuo Com ∂iρ=2ϕi: ∂iV=(−μ2+λρ)ϕi. Mínimos: ρ=μ2/λ≡v2 (a esfera SN−1). O vácuo escolhe um ponto, ϕ(0)=(0,…,0,v).

A Hessiana Derivando de novo, ∂jρ=2ϕj: Mij≡∂i∂jV=(−μ2+λρ)δij+2λ ϕiϕj. No vácuo o primeiro termo se anula (λv2=μ2): Mij∣0=2λv2 δiNδjN=2μ2 δiNδjN. Autovalores: 2μ2 (direção radial, i=N) e 0 com multiplicidade N−1 (direções tangentes). Como M é a matriz de massas ao quadrado, mh=2 μ e N−1 escalares sem massa.

O mesmo resultado sem usar a forma de V Seja ϕ→ϕ+ϵTϕ uma rotação infinitesimal, TT=−T (gerador de O(N)). V invariante significa V(ϕ+ϵTϕ)=V(ϕ) para todo ϕ, logo ∂iV(ϕ) Tijϕj=0para todo ϕ. Derivando em relação a ϕk: Mki Tijϕj+∂iV Tik=0.

Avaliar no mínimo No vácuo, ∂iV=0 (ponto estacionário) e sobra M (Tϕ(0))=0. Se o gerador T não deixa o vácuo invariante, Tϕ(0)≠0: é um autovetor de M de autovalor zero, uma partícula escalar sem massa. Isso é o teorema de Goldstone, e só usou invariância e ∂V=0. Geradores cujos vetores Tϕ(0) são linearmente independentes dão zero-modos independentes.

Contar: N−1 para O(N) O vácuo (0,…,0,v) é invariante pelas rotações dos primeiros N−1 eixos: H=O(N−1). Então dim⁡G−dim⁡H=N(N−1)2−(N−1)(N−2)2=N−1. Os geradores quebrados são as rotações que misturam o eixo N com \(i

Expansão explícita: o π é exatamente sem massa Como V=λ4(ρ−v2)2−λ4v4, escrevemos ϕ=(π1,…,πN−1, v+h), ρ−v2=π2+2vh+h2: V=−λv44+λv2h2+λv h (π2+h2)+λ4(π2+h2)2. Não há termo π2 sozinho: πa tem massa zero no nível de árvore (e a simetria garante que continua nula com correções quânticas). O coeficiente de h2 dá 12mh2=λv2, de novo mh2=2μ2.

Os casos da seção e o teste numérico N=2: 1 Goldstone, π da parametrização polar (ϕ=12(v+h)eiπ/v). N=4: O(4)→O(3), 6−3=3 Goldstones, os três bósons que o Higgs perde. Verificação numérica da Hessiana (λ=0,1294, v=246,22 GeV, μ2=λv2): para N=2,4,5 os autovalores são 0 (N−1 vezes) e 2μ2=15 690 GeV2=(125 GeV)2, de acordo com N−1=1,3,4.

Resultado. Mij∣0=2μ2δiNδjN, M(Tϕ(0))=0 para todo gerador T e #Goldstones =dim⁡G−dim⁡H=N−1 para O(N)→O(N−1); no Modelo Padrão (N=4): 3, e mh=2μ≈125 GeV com μ≈88,6 GeV. Numa simetria local esses zero-modos são os que o campo de gauge "come" (próxima parte da seção, e a contagem de graus de liberdade).

Cada seta é o valor do campo complexo num ponto, desenhado no plano do chapéu mexicano; o círculo tracejado é o vale. Goldstone: as setas giram ao longo do vale. Como girar todas juntas não custa energia (é a simetria), uma onda longa custa quase nada: ω=k, sem gap, uma partícula sem massa. Radial: as setas esticam e encolhem, subindo as paredes do chapéu: custa energia mesmo com k=0, ω2=k2+mh2, o bóson de Higgs. Local: se a simetria é local, a rotação de fase pode ser desfeita ponto a ponto (escolha de gauge): as setas ficam paradas e a oscilação passa para o campo de gauge (a onda em baixo), que agora tem massa, ω2=k2+mV2. O Goldstone foi "comido" e virou a polarização longitudinal do bóson.

Quando a simetria é local: o mecanismo de Higgs

Se a mesma simetria é local, a fase π(x)/v pode ser removida por uma transformação de gauge com α(x)=−π(x)/v. O Goldstone não é um grau de liberdade físico independente: é apenas a escolha de gauge. Mas nada se perde. Ao expandir o termo cinético ∣Dμϕ∣2 em torno do vácuo, aparece um termo de massa para o campo de gauge, e o campo π reaparece misturado com Aμ: