A Lagrangiana completa — antes da quebra

Esta é a teoria inteira em uma expressão manifestamente simétrica sob SU(3)C×SU(2)L×U(1)Y. Nenhum termo de massa explícito aparece — massas seriam proibidas pela simetria de gauge.

Cada termo da Lagrangiana com três ou quatro campos vira um vértice de Feynman: um ponto onde partículas se encontram. Ligue e desligue setores para ver o que cada um contribui. Sem Lgauge não há bósons; sem férmions, não há matéria; o Higgs traz seus vértices com os bósons; o Yukawa liga matéria e Higgs. Depois da quebra, os mesmos termos se reorganizam: aparecem massas e vértices com o Higgs físico h, e os campos W1,2,3,B viram W±,Z,γ.

Lendo uma Lagrangiana termo a termo

Uma Lagrangiana parece uma sopa de símbolos, mas cada termo segue regras rígidas. Sabendo lê-las, você consegue olhar para qualquer termo e dizer o que ele faz e se ele é permitido.

Os quatro tipos de termo

Dois campos e derivadas. Dizem como a partícula se move livre; viram o propagador.

Dois campos sem derivadas: a energia de repouso. No MP vêm todos do Higgs.

Três ou mais campos. Cada campo é uma perna do vértice; o coeficiente é o acoplamento.

Potências de um mesmo campo: o campo interage consigo mesmo.

Unidades: por que todo termo tem dimensão 4

Com ℏ=c=1, tudo se mede em potências de massa. A ação S=∫d4x L é adimensional e d4x tem dimensão −4, então L tem dimensão de massa 4. Lendo o termo cinético, descobre-se a dimensão de cada campo: bósons têm 1, férmions 3/2, cada derivada soma 1. Um termo com campos que somam menos de 4 precisa de um coeficiente com dimensão positiva (massas, como μ2); se somam mais de 4, o coeficiente tem dimensão negativa (1/Λn).

A seção diz que, com ℏ=c=1, L tem dimensão de massa 4 e que acoplamentos de dimensão ≥0 tornam a teoria renormalizável. Vamos deduzir a dimensão de cada campo e coeficiente, ver quais termos a simetria deixa, e ver o que acontece com um termo de dimensão maior que 4 (o operador de Weinberg e a teoria de Fermi). A contagem dos 19 parâmetros está em Os 19 parâmetros livres. [X] é a dimensão de massa de X.

A dimensão de L e dos campos A ação S=∫d4x L é adimensional e [d4x]=−4, logo [L]=4. Os termos cinéticos fixam as dimensões: [(∂ϕ)†∂ϕ]=4 ⇒ [ϕ]=1,[ψˉ i∂̸ ψ]=4 ⇒ [ψ]=32,[FμνFμν]=4 ⇒ [Aμ]=1.

Dimensão dos coeficientes Com [Dμ]=[∂μ]=1 (então [g]=0 é exigido para que D=∂+igA some termos de mesma dimensão), cada interação deve somar 4: [g ψˉγμAμψ]=[g]+32+32+1=4⇒[g]=0,[y ψˉϕψ]=[y]+4⇒[y]=0,[λ ϕ4]=[λ]+4⇒[λ]=0. [μ2 ϕ†ϕ]=[μ2]+2=4 ⇒ [μ2]=2. Os acoplamentos são adimensionais, e μ2 é o único parâmetro com dimensão (o que fixa v, no Higgs).

Quais termos a simetria permite Invariância sob SU(3)×SU(2)×U(1)Y e dimensão ≤4 deixam os −14F2 dos três grupos, ψˉiD̸ψ dos cinco campos, ∣Dϕ∣2, μ2ϕ†ϕ, λ(ϕ†ϕ)2, os três termos de Yukawa e θ GG~. Proibidos: mψˉψ (junta L e R, de hipercargas diferentes), mA2AμAμ (não invariante), ϕ3 (Y=32).

Dimensão maior que 4: o custo é uma escala Um operador Od de dimensão d>4 entra com cΛd−4Od, onde c é adimensional e [Λ]=1. O exemplo clássico é a teoria de Fermi: [GF]=−2 (quatro férmions, d=6). Por análise dimensional, a seção de choque de espalhamento tem dimensão −2, e o único que se forma é σ∼GF2 s(dimensa˜o −4+2=−2). Ela cresce com a energia, enquanto a unitaridade limita σ≲1/s. Os dois se cruzam em s∼1/GF, isto é s∼GF−1/2=293 GeV (ordem de grandeza, sem os fatores numéricos): acima disso a teoria precisa de uma completação, e ela é o bóson W (propagador do W).

O operador de Weinberg, d=5 Há um único operador de dimensão 5 invariante com os campos do modelo: dois dubletos de léptons e dois de Higgs, (L ϕ)(L ϕ) com os SU(2) contraídos por ϵ. A hipercarga fecha: 2(−12)+2(+12)=0. Convencionando L5=−c2Λ (Lc‾ ϕ~∗)(ϕ~†L)+h.c. → ϕ→v/2 −c v24Λ νLc‾ νL+h.c., e comparando com o termo de massa de Majorana −12mννc‾ν+h.c.: mν=c v22Λ.

Número Com mν≈0,05 eV (a escala Δmatm2, com Δm2≈2,5×10−3 eV2), c=1 e v=246,22 GeV: Λ=v22mν=(246,22)22×0,05×10−9 GeV=6,1×1014 GeV. Uma massa de neutrino tão pequena aponta para uma escala nova perto de 1014 a 1015 GeV (seesaw), muito acima de v; é a mesma lógica da teoria de Fermi, com Λ∼293 GeV.

Resultado. [ϕ]=[A]=1, [ψ]=32, [g]=[y]=[λ]=0, [μ2]=2: todos os termos do modelo têm dimensão ≤4 e só μ2 tem dimensão. Termos com d>4 vêm com 1/Λd−4: a teoria de Fermi dá Λ∼GF−1/2=293 GeV e o operador de Weinberg, mν=cv2/2Λ, dá Λ≈6×1014 GeV para mν=0,05 eV. A estimativa de Λ é de ordem de grandeza (c desconhecido).

Monte e teste um termo

Toque nos campos para formar um produto (um termo candidato da Lagrangiana). O verificador aplica as regras que decidem o que é permitido: Lorentz (férmions vêm em pares ψˉ⋯ψ; sem γμ, um par liga mãos opostas; com γμ, mãos iguais; índices contraídos), hipercarga (soma zero), SU(2) (número par de dubletos, para formar um singleto), cor (quarks e antiquarks em número igual) e a dimensão (cada bóson conta 1, cada férmion 3/2, cada derivada 1; o termo precisa somar 4 para ser renormalizável). Tente o exemplo "massa do elétron nua": ele viola a hipercarga, e é exatamente por isso que o elétron precisa do Higgs para ter massa.

A Lagrangiana do Modelo Padrão, inteira

Ela cabe em cinco linhas, uma por setor. A soma de todas é LMP.

h.c. é o conjugado hermitiano (Hermitian conjugate) de tudo o que vem antes. Ele é necessário para que a Lagrangiana seja real: a energia e as probabilidades precisam ser números reais, e um termo como Q‾Lϕ~ uR sozinho é complexo. Para conjugar, invertem-se a ordem e cada fator vira o seu adjunto, com ψ‾=ψ†γ0:

(Yu Q‾Lϕ~ uR)†=Yu∗ u‾R ϕ~†QL, (Yd Q‾Lϕ dR)†=Yd∗ d‾R ϕ†QL, (Ye L‾Lϕ eR)†=Ye∗ e‾R ϕ†LL.

Com índices de geração, Y é uma matriz e o conjugado usa Y†: u‾R Yu† ϕ~†QL. O termo original destrói um uR e cria um uL (ou o contrário para antipartículas); o h.c. faz o processo inverso. Depois da quebra, os dois juntos dão a massa completa: −yev2(eˉLeR+eˉReL)=−me eˉe.

Escrita assim ela tem quatro linhas. Expandindo cada Dμ, cada F2 e substituindo o Higgs pelo seu valor de vácuo, a mesma expressão vira algumas centenas de termos explícitos: um para cada vértice que aparece nos diagramas de Feynman. Os 19 parâmetros livres estão todos visíveis aqui: gs,g,g′; μ2,λ; as matrizes Yu,Yd,Ye (que dão 9 massas e os 4 parâmetros da CKM); e θ.