Supersimetria e o MSSM

SUSY prevê que cada partícula tem um superparceiro com spin diferindo de 1/2. Operadores fermiônicos Qα trocam férmions por bósons.

A álgebra de SUSY

Supermultipletes e o MSSM

Escalar complexo + espinor de Weyl. Cada férmion do MP → dois sfermions.

Bóson de gauge + gaugino: gluino g~, winos, bino.

Gráviton (spin 2) + gravitino (spin 3/2) — liga com a seção Extensões gravitacionais.

O MSSM precisa de dois dubletos de Higgs (Hu,Hd): para cancelar a anomalia do higgsino, gerar massas up e down, e respeitar a holomorficidade do superpotencial. O espectro físico tem 5 Higgs (h0,H0,A0,H±), 4 neutralinos, 2 charginos, sfermions e o gluino.

Solução do problema da hierarquia

Seja ρ=∣H0∣2 o módulo quadrado do campo neutro do Higgs e mH2 o coeficiente de ρ no potencial, V⊃mH2ρ. Calculamos a correção de um laço de top e stops com o potencial efetivo de Coleman–Weinberg e um corte euclidiano Λ nos momentos, e vemos o termo Λ2 desaparecer quando os stops são os parceiros SUSY do top. Convenção: mt=ytρ, isto é, yt=2 mt/v.

O potencial de um laço Cada grau de liberdade com massa Mi2(ρ), de bóson (+) ou de férmion (−), contribui ao potencial efetivo com a energia do ponto zero, escrita como integral euclidiana: V1=12∑i(−1)Fi ni∫Λd4k(2π)4ln⁡ ⁣(k2+Mi2(ρ)), onde ni conta os graus de liberdade reais, e o sinal − dos férmions vem da integral de Grassmann.

A correção à massa O coeficiente de ρ em V é a derivada em ρ=0. Como ∂ln⁡(k2+M2)/∂M2=1/(k2+M2): δmH2=∂V1∂ρ∣0=12∑i(−1)Fini ∂Mi2∂ρ J(Mi2),J(M2)≡∫Λd4k(2π)41k2+M2. Com d4k=2π2k3dk e u=k2: J=116π2∫0Λ2u duu+M2=116π2[Λ2−M2ln⁡ ⁣(1+Λ2M2)].

Só o top (Modelo Padrão) O quark top é um férmion de Dirac (4 componentes) em 3 cores: n=12, Mt2=yt2ρ, ∂Mt2/∂ρ=yt2, e em ρ=0 tem Mt=0, logo J(0)=Λ2/16π2: δmH2∣t=12(−1)(12) yt2 Λ216π2=−3 yt28π2 Λ2. Com yt=0,992 (mt=172,7 GeV) e Λ=MP=1,22×1019 GeV, o coeficiente é 0,0374 e δmH2=−5,6×1036 GeV2, 3,6×1032 vezes mh2=(125 GeV)2: é o problema da hierarquia.

Os stops: o outro lado do multipleto Em SUSY, cada férmion de Weyl do top tem um escalar complexo com a mesma carga de cor: t~L e t~R. Os termos F do superpotencial W=yt Hu Q Uˉ dão a eles o acoplamento yt2∣Hu∣2(∣t~L∣2+∣t~R∣2), logo Mt~2(ρ)=m~2+yt2ρ,nt~=2 (complexos)×2 (reais)×3 (cores)=12. O mesmo yt2 do top, e o mesmo número de graus de liberdade. Isso não é ajuste fino: é a SUSY, que exige igual número de estados bosônicos e fermiônicos e acoplamentos relacionados.

A soma: o Λ2 cancela Os stops contribuem com +12(12) yt2 J(m~2). Somando ao top: δmH2=6 yt2[J(m~2)−J(0)]=6 yt216π2[−m~2ln⁡ ⁣(1+Λ2m~2)] → Λ≫m~ −3 yt28π2 m~2ln⁡Λ2m~2. O termo Λ2 de J(m~2) cancelou exatamente o do top; sobrou uma dependência logarítmica. É o análogo do resultado do texto, ∝(mB2−mF2)ln⁡Λ2, aqui com mF=0 em ρ=0 e mB=m~.

Tamanho do resíduo Para m~=1,5 TeV e Λ=MGUT=2×1016 GeV, ln⁡(Λ2/m~2)=60,3 e δmH2=−0,0374⋅(1500)2⋅60,3=−5,1×106 GeV2, isto é, ∼325 mh2 (∣δmH∣≈2,3 TeV). Com m~=1 TeV: −2,3×106 GeV2≈150 mh2.

Resultado. No MP, δmH2=−3yt28π2Λ2 (∼1032 mh2 para Λ=MP); no MSSM com stops degenerados, δmH2=−3yt28π2m~2ln⁡Λ2m~2 (∼102–103 mh2). Limites: SUSY exata, Λ≫m~, apenas o laço de top/stop e At=0; com os stops mais pesados que o top (SUSY mole), sobra só o logaritmo, como mostra o widget acima.

Ligue SUSY e veja a divergência quadrática ∼Λ2 ser domada à escala mSUSY.

A massa do Higgs recebe correções de loops. O maior é o do quark top: δmH2≈−3yt28π2Λ2, proporcional ao quadrado da escala Λ onde a física nova aparece. Se Λ for a escala de Planck, 1019 GeV, o parâmetro nu da Lagrangiana teria de cancelar essa correção em mais de 30 casas decimais para sobrar (125 GeV)2: é o problema da hierarquia (barras em escala logarítmica). Na supersimetria, cada férmion tem um parceiro bosônico com o mesmo acoplamento, e o loop do stop entra com sinal oposto: os termos Λ2 se cancelam exatamente e sobra só ∼3yt28π2mt~2ln⁡(Λ2/mt~2). O ajuste fino volta a ser natural se os stops tiverem massa perto de 1 TeV, e o LHC ainda não os viu: daí a tensão atual.

Paridade R, unificação e estado experimental