Grandes Teorias Unificadas (GUTs)

Por que três grupos e três acoplamentos? GUTs propõem que, acima de MGUT∼1016 GeV, SU(3)×SU(2)×U(1) emerge de um grupo simples GGUT com uma única constante.

Unificação dos acoplamentos

Compare MP e MSSM: no MP os três acoplamentos quase se encontram; no MSSM, a convergência é precisa.

Os três acoplamentos medidos na massa do Z correm com a energia: 1αi(Q)=1αi(MZ)−bi2πln⁡QMZ (um loop, α1 na normalização de GUT). No Modelo Padrão as três retas quase se encontram, mas formam um triângulo: não há um ponto único. No MSSM, os superparceiros mudam as inclinações acima de MSUSY e as três retas passam muito perto de um ponto, em MGUT≈2×1016 GeV. Uma GUT faz o próton decair, com vida τp∼MX4/(αG2mp5) (estimativa grosseira); o Super-Kamiokande exige τ(p→e+π0)>2,4×1034 anos, o que já exclui a unificação mínima com MX∼1014 GeV.

Os três acoplamentos αi=gi2/4π de U(1)Y, SU(2)L, SU(3)C correm com μ (grupo de renormalização). Mostramos (i) o valor do ângulo de Weinberg que SU(5) impõe, (ii) os coeficientes bi contando campos e (iii) onde as retas se cruzam. Uso α−1(MZ)=127,95, sin⁡2θW=0,2312, αs(MZ)=0,118, MZ=91,19 GeV.

A normalização de U(1)Y vem do SU(5) Na representação 5ˉ=(d1,2,3c, ν, e), Q=(13,13,13,0,−1) e T3=(0,0,0,12,−12); então Y=Q−T3=(13,13,13,−12,−12), sem traço, como todo gerador de SU(5). Geradores de um grupo simples têm a mesma normalização, Tr⁡Ta2=12: Tr⁡T32=12,Tr⁡Y2=39+24=56 ⇒ Y′=35 Y tem Tr⁡Y′2=12. O acoplamento único g5 multiplica Y′: g5Y′=g′Y⇒g′=3/5 g5. Define-se então g1≡5/3 g′, que vale g5 em MGUT.

O ângulo de Weinberg na escala de unificação Com g2=g5 e g′2=35g52: sin⁡2θW=g′2g2+g′2=3/51+3/5=38. (Equivalente: Tr⁡T32/Tr⁡Q2=12/43=38 em 5ˉ.) Em MZ o valor medido é 0,231, então a diferença precisa ser explicada pela corrida.

A corrida a um laço A equação dαi−1/dln⁡μ=−bi/2π tem solução exata no nível de um laço: αi−1(μ)=αi−1(MZ)−bi2πln⁡μMZ. Para um grupo G, b=−113C2(G)+23∑WeylT(R)+13∑escalaresT(R); para U(1) usa-se T=35Y2 (norma do passo 1). O primeiro termo, do glúon, é o que dá o sinal da liberdade assintótica.

Contando campos: bi do MP SU(3): −11 e, por geração, 4 tripletos de Weyl (Q conta 2, mais uc e dc) com T=12: 23⋅2⋅3=4, logo b3=−7. SU(2): −223; por geração, Q dá 3 dubletos (cores) e L dá 1, com T=12: ∑T=2, total 23⋅6=4; Higgs: 13⋅12=16; b2=−223+4+16=−196. U(1): ∑Y2 por geração =16+43+13+12+1=103, três gerações =10: 23⋅35⋅10=4; Higgs: 13⋅35⋅2⋅14=110: bMP=(4110, −196, −7).

Acrescentando os superparceiros: bi do MSSM Cada fermion de matéria passa a vir com um escalar, e as contribuições somam (23+13)=1 vez ∑T. Os gauginos (adjuntos de Weyl) somam 23C2(G); o MSSM tem dois dubletos de Higgs e dois de higgsinos. b3=−11+2+6=−3; b2=−223+43+6+1=1; b1=35⋅10+35=335: bMSSM=(335, 1, −3)(com MSUSY≈MZ). Isto confirma o vetor citado no texto da seção.

Onde as retas se cruzam Valores em MZ: α1−1=35cos⁡2θW α−1=59,02, α2−1=sin⁡2θW α−1=29,58, α3−1=8,47. Impondo α1=α2: ln⁡MGUTMZ=2π(α1−1−α2−1)b1−b2={25,45MP ⇒ MGUT=1,0×1013 GeV33,03MSSM ⇒ MGUT=2,0×1016 GeV Terceira reta nessa escala: MP, α1−1=α2−1=42,4 mas α3−1=36,8, isto é, ∼13% fora: não se encontram. MSSM: α1−1=α2−1=24,33 e α3−1=24,25, um desvio de 0,3%.

Resultado. SU(5) fixa sin⁡2θW=3/8 em MGUT, e a corrida a um laço leva as três constantes a um ponto comum apenas com os bi do MSSM: MGUT≈2×1016 GeV, αGUT−1≈24,3. No MP puro, α1 e α2 se cruzam em 1013 GeV, onde α3 está 13% fora. Aproximações: um laço, limiar SUSY em MZ e sem correções de limiar da GUT; com MSUSY∼ TeV o ponto de cruzamento desloca-se pouco (veja o widget).

SU(5): a GUT mais simples (Georgi-Glashow)

SO(10): elegância ainda maior

O seesaw é natural: MR∼MGUT dá mν∼0.01 eV, como observado.

SO(10) não tem anomalias de gauge — o 'milagre' do módulo Consistência quântica é estrutural.

mb=mτ em MGUT → mb/mτ≈2.8 no IR, em bom acordo.