A matriz CKM e o triângulo unitário

As matrizes de Yukawa dos quarks não são diagonais. Ao alinhar sabor e massa, a corrente carregada herda uma matriz de mistura unitária — a CKM — cuja fase é a única origem de violação de CP nos quarks do MP.

Os quarks vêm em três famílias: (u,d), (c,s), (t,b). Quando o W transforma um quark de cima (tipo u) num de baixo (tipo d), ele não respeita exatamente as famílias: um u vira um d em 95% das vezes, mas às vezes vira um s ou um b. A tabela dessas probabilidades é a matriz CKM.

Por que isso acontece? Porque os quarks “de massa definida” (os que viajam como partículas) não são exatamente os mesmos que o W enxerga. A CKM é o ângulo entre esses dois pontos de vista. E ela tem uma fase complexa, que faz partículas e antipartículas se comportarem de forma levemente diferente: a violação de CP.

3 ângulos + 1 fase

Uma matriz unitária 3×3 tem 9 parâmetros; 5 são absorvidos em fases dos quarks. Sobram 3 ângulos + 1 fase física. Para N gerações há (N−1)(N−2)/2 fases — é preciso ter 3 gerações para haver violação de CP (Kobayashi-Maskawa 1973, Nobel 2008).

O texto diz que uma unitária 3×3 tem 3 ângulos e 1 fase física, e que para N gerações há (N−1)(N−2)/2 fases. Deduz-se a contagem para N qualquer. A mistura é V=ULu†ULd (como ela nasce); a liberdade que sobra são as fases arbitrárias dos 2N campos de massa definida, ui→eiφiui, dj→eiθjdj, que não mudam os termos de massa nem os cinéticos.

Parâmetros de uma unitária N×N V tem N2 entradas complexas, ou 2N2 reais. A condição V†V=1 é uma matriz hermitiana N×N de igualdades: N reais (diagonal) mais N(N−1)/2 complexas (fora da diagonal), isto é, N2 vínculos reais. Sobram 2N2−N2=N2. Um jeito equivalente: N(N−1)/2 ângulos (os parâmetros de uma matriz ortogonal real) mais N(N+1)/2 fases; N(N−1)2+N(N+1)2=N2.

Fases removíveis por redefinição dos campos A redefinição muda a entrada Vij→e−iφiVijeiθj. São 2N fases, mas uma transformação igual para todos (φi=θj=α) deixa V inalterada (é o número bariônico). Portanto só 2N−1 são efetivas.

Parâmetros físicos N2−(2N−1)=(N−1)2. Os ângulos são os mesmos N(N−1)/2 da parte real (as rotações não podem ser removidas por fases). As fases físicas são o resto: (N−1)2−N(N−1)2=(N−1)(N−2)2.

Tabela N=1: 0 ângulos, 0 fases. N=2: 1 ângulo (o de Cabibbo, θC≈13°), 0 fases: V=(cs−sc) é real. N=3: 3 ângulos, 2⋅12=1 fase. N=4: 6 ângulos, 3 fases. Só com N≥3 a matriz de mistura é irredutivelmente complexa e pode violar CP: é o argumento de Kobayashi e Maskawa, que previu uma terceira geração em 1973, antes do c (1974) e do b (1977) serem observados.

Conferência na parametrização padrão O produto de três rotações R23(θ23) R13(θ13,δ) R12(θ12) tem 3 ângulos e a fase δ em R13, e dá a matriz do texto. Para θ12=13,00°, θ23=2,40°, θ13=0,212°, δ=65,5° a matriz resulta unitária a 2×10−16 (conferido numericamente) e ∣Vus∣=0,2250, ∣Vcb∣=0,0418, ∣Vub∣=0,00369. Para N=3 com 3 ângulos e 1 fase, quatro números definem todos os nove módulos e as fases.

Condição adicional: massas não degeneradas A fase só é física se os quarks de mesma carga tiverem massas distintas. Se, por exemplo, mu=mc, uma rotação entre u e c é uma simetria e consome mais parâmetros; o resultado do passo 3 é para massas todas diferentes. Acrescentando as 2N massas, a contagem total de quarks é 2N+(N−1)2: 10 para N=3, como na contagem dos 19.

Resultado. Uma mistura unitária N×N tem N(N−1)2 ângulos e (N−1)(N−2)2 fases físicas. Para três gerações: 3 ângulos e 1 fase. Com neutrinos de Majorana aparecem N−1 fases extras (2 para N=3), pois os campos de Majorana não podem ser re-fasados livremente: são as fases α1,α2 de PMaj da PMNS.

Parametrização padrão (PDG)

Hierarquia de Wolfenstein

Cada círculo tem área proporcional a ∣Vij∣2: a probabilidade de que, num vértice com W, o quark tipo-up i vire o tipo-down j. A diagonal domina; trocar de geração custa caro, na escala de Wolfenstein λ≈0,225: ∣Vus∣∼λ, ∣Vcb∣∼λ2, ∣Vub∣∼λ3. Embaixo, cada evento é um sorteio de verdade com essas probabilidades, e a contagem converge para a linha da matriz. A unitariedade exige ∑j∣Vij∣2=1. A violação de CP vive na fase complexa de Vub e Vtd. Ligado ao triângulo: ao arrastar o vértice (ρˉ,ηˉ) do triângulo unitário (logo abaixo), esta matriz é recalculada na hora (parametrização exata com λ=0,225, A=0,826): o tamanho de ∣Vub∣∝∣ρˉ+iηˉ∣ e de ∣Vtd∣∝∣1−ρˉ−iηˉ∣ muda junto com os lados do triângulo, e a fase δ acompanha γ. Leve o vértice para ηˉ=0 e veja δ→0: matriz real, nenhuma violação de CP.

O triângulo unitário

A unitariedade ∑kVkiVkj∗=0 produz triângulos no plano complexo; o do setor B tem lados comparáveis. Arraste o vértice (ρˉ,ηˉ) e veja os ângulos α, β, γ (que somam 180°).

Arraste o vértice (ρˉ,ηˉ). As faixas coloridas são medições independentes: cada uma restringe o vértice a uma região, e todas se cruzam num ponto só, o ajuste global. Esse acordo é um dos testes mais fortes do Modelo Padrão: uma única fase complexa na matriz CKM explica toda a violação de CP observada em quarks. Embaixo, uma simulação Monte Carlo de decaimentos B0 e Bˉ0→J/ψKS: as taxas ∝e−t/τ [1∓sin⁡2β sin⁡(Δmdt)] diferem, e a diferença é proporcional a sin⁡2β do seu triângulo. Com ηˉ=0 o triângulo achata, J=0 e as duas curvas coincidem: sem fase, sem violação de CP.

A fase δ depende da convenção de fases dos quarks; o que mede a violação de CP é uma combinação que não depende dela. Mostra-se que o invariante J é o mesmo para qualquer escolha de linhas e colunas, é duas vezes a área de qualquer um dos triângulos de unitaridade, tem uma forma fechada na parametrização padrão e vale A2λ6η em Wolfenstein. Notação: cij=cos⁡θij, sij=sin⁡θij.

Uma combinação invariante de fase Sob Vij→e−iφiVijeiθj (passo da contagem), o produto VijVklVil∗Vkj∗ (i≠k, j≠l) fica inalterado: o índice i aparece uma vez com asterisco e uma sem, o mesmo para k, j e l. Com a unitaridade, as partes imaginárias de todas as 9 escolhas coincidem em módulo: Im⁡[VijVklVil∗Vkj∗]=J∑m,nϵikmϵjln,J=Im⁡[VusVcbVub∗Vcs∗].

J é duas vezes a área do triângulo A ortogonalidade das colunas 1 e 3, ∑kVkdVkb∗=0, é a soma de três números complexos tu=VudVub∗, tc=VcdVcb∗, tt=VtdVtb∗ igual a zero: um triângulo. A área de um triângulo de lados tu e tc (vetores no plano complexo) é 12∣Im⁡(tutc∗)∣, e tutc∗=VudVub∗Vcd∗Vcb, cuja parte imaginária é ±J pelo passo 1: Aˊrea=12 ∣J∣. Os seis triângulos de unitaridade (linhas e colunas) têm formas diferentes e a mesma área. Se J=0, o triângulo é degenerado (uma reta): é o critério geométrico de não haver violação de CP.

A forma fechada na parametrização padrão Dos elementos do texto, Vus=s12c13, Vcb=s23c13, Vub∗=s13eiδ e Vcs∗=c12c23−s12s23s13e−iδ. O produto é VusVcbVub∗Vcs∗=s12s23s13c132[c12c23eiδ−s12s23s13], e a parte imaginária só vem do primeiro termo do colchete: J=c12 c23 c132 s12 s23 s13 sin⁡δ. J se anula se qualquer ângulo é zero (a mistura de duas gerações é reduzida a 2 e a fase some) ou se δ=0,π. O máximo possível, para todos os ângulos ótimos e δ=90°, é 1/(63)=0,0962 (conferido numericamente).

Wolfenstein: J≈A2λ6η Define-se s12=λ, s23=Aλ2, s13eiδ=Aλ3(ρ+iη) (então Vub=Aλ3(ρ−iη), como no texto; a definição exata do PDG, com ρˉ,ηˉ, difere em O(λ2)). Como cij=1+O(λ2) e s13sin⁡δ=Aλ3η: J=λ⋅Aλ2⋅Aλ3η (1+O(λ2))=A2λ6 η. A pequenez de J é a de λ6: cada passo entre gerações custa um fator λ≈0,22.

Números e o triângulo Com λ=0,22501, A=0,826, ρˉ=0,159, ηˉ=0,348 (valores do texto; ρˉ+iηˉ=−VudVub∗/VcdVcb∗), a matriz unitária exata dá J=3,078×10−5 (fórmula do passo 3: 3,078×10−5; aproximação A2λ6η=3,081×10−5), igual à área do triângulo vezes dois, também conferida numericamente. O triângulo tem ângulos β=22,5°, γ=65,4° e α=92,1°, que somam 180°, e sin⁡2β=0,707. Comparando com os valores medidos do texto: γ=65,9±3,3° e sin⁡2β=0,698±0,014 concordam; α=84,1±5° fica a 1,6σ deste conjunto de parâmetros.

Comparação com o máximo J/Jmax⁡=3,08×10−5/0,0962=3,2×10−4: a CKM viola CP no nível de três décimos de milésimo do máximo permitido a uma matriz unitária 3×3. Na próxima seção, J multiplicado pelas diferenças de massa dos quarks e dividido por T12 decide a bariogênese.