Simetrias discretas: C, P e T

Além das simetrias contínuas, há três transformações discretas: trocar partícula por antipartícula (C), refletir o espaço num espelho (P) e inverter o sentido do tempo (T). Até 1956 acreditava-se que todas eram simetrias exatas. A força fraca viola as três.

Se você filmasse um experimento e o assistisse num espelho, veria uma situação que também poderia acontecer? Para a gravidade, o eletromagnetismo e a força forte, sim. Para a força fraca, não: o neutrino, por exemplo, sempre gira como uma rosca para a esquerda; seu reflexo, um neutrino “destro”, não existe.

Trocar matéria por antimatéria também não é uma simetria perfeita da força fraca. Combinando as duas operações (CP) quase tudo volta a funcionar, mas não exatamente, e essa pequena diferença é necessária para explicar por que o universo é feito de matéria. Já a combinação das três, CPT, é exata em qualquer teoria quântica relativística.

As três operações

Troca cada partícula pela antipartícula: muda todas as cargas, mantém massa e spin.

Reflexão espacial. Inverte momentos mas não o spin: troca helicidade esquerda por direita.

Roda o filme ao contrário. Antiunitária: também conjuga números complexos.

Em 1956, Chien-Shiung Wu alinhou os spins de núcleos de cobalto-60 com um campo magnético e contou os elétrons do decaimento beta. Eles saem preferencialmente no sentido oposto ao spin. No espelho, o spin (uma rotação) inverte o sentido, mas as trajetórias dos elétrons não: o mundo espelhado teria elétrons saindo ao longo do spin. Como isso não acontece, a natureza não é simétrica sob paridade P: a força fraca só age na mão esquerda. Trocando também matéria por antimatéria (C), a regra volta a valer: CP é (quase) conservada. A violação pequena de CP aparece em káons e mésons B (módulo Sabor e CP).

Quem viola o quê

O teorema CPT

Lüders e Pauli (1954–57) provaram que toda teoria quântica de campos local, invariante de Lorentz e com hamiltoniano hermitiano é invariante sob CPT. Consequências testáveis: partícula e antipartícula têm exatamente a mesma massa e a mesma vida média, e cargas opostas. Os testes mais precisos: a diferença de massa entre K0 e Kˉ0 é menor que 10−18 da massa, e o espectro do anti-hidrogênio (experimento ALPHA, CERN) coincide com o do hidrogênio em partes por trilhão.

Admite-se o teorema CPT do texto: existe um operador antiunitário Θ=CPT tal que ΘHΘ−1=H e ΘSΘ−1=S† (a segunda segue da primeira, pois S é a exponencial ordenada no tempo de −i∫H, e a antiunitariedade inverte a ordem e conjuga o i). Dele se extraem, sem calcular um diagrama, a igualdade das massas, das vidas médias e o vínculo que a unitaridade impõe às assimetrias parciais.

Como Θ age nos estados C troca partícula por antipartícula; P inverte p e mantém o spin; T inverte p e o spin. O produto leva p→p (duas inversões), carga →−carga e S→−S: Θ ∣a;p,s⟩=η ∣aˉ;p,−s⟩,∣η∣=1.

Massas iguais Seja ∣a;0⟩ um estado de uma partícula em repouso, com H∣a;0⟩=ma∣a;0⟩. Como Θ comuta com H e é antilinear, Θ(ma∣a⟩)=ma∗ Θ∣a⟩=ma Θ∣a⟩ (a massa é real): H Θ∣a;0⟩=ΘH∣a;0⟩=ma Θ∣a;0⟩ ⇒ maˉ=ma. Vale para as massas vestidas (físicas), não só as nuas, porque o argumento usa apenas H completo.

A relação entre amplitudes Para um operador antiunitário, ⟨Θα∣Θβ⟩=⟨β∣α⟩. Então ⟨f∣S∣i⟩=⟨ΘSi ∣ Θf⟩=⟨S†Θi ∣ Θf⟩=⟨Θi∣S∣Θf⟩. Com ∣Θf⟩=∣fˉ⟩ (spins invertidos): Sfi=Siˉfˉ. A amplitude de ir de i a f é a de ir de fˉ a iˉ: a CPT troca o sentido e a matéria pela antimatéria.

Vidas médias iguais A unitaridade de S (SS†=S†S=1) dá, para as linhas e as colunas, ∑f∣Sfi∣2=1 e ∑f∣Sif∣2=1. Defina a assimetria de taxa de um canal f: Δf=Γ(i→f)−Γ(iˉ→fˉ)∝∣Sfi∣2−∣Sfˉiˉ∣2. Pelo passo 3, Sfˉiˉ=Sif, então Δf∝∣Sfi∣2−∣Sif∣2 e somando sobre todos os canais: ∑fΔf∝∑f∣Sfi∣2−∑f∣Sif∣2=1−1=0 ⇒ Γtot(i)=Γtot(iˉ). (Cada soma é sobre todos os estados finais com os mesmos números quânticos conservados.) Conclusão: τa=τaˉ.

CPT não proíbe assimetria parcial: ela soma zero A mesma identidade diz mais: ∑fΔf=0 com Δf individualmente possíveis diferentes de zero. Para um decaimento com dois canais, Δ1=−Δ2. Exemplo de números (ilustrativo): se BR(i→f1)=0,600 e BR(iˉ→fˉ1)=0,596, então BR(i→f2)=0,400 e BR(iˉ→fˉ2)=0,404. A violação de CP em decaimentos aparece, mas nunca muda a vida média total. É o ingrediente que a bariogênese usa: uma partícula pesada pode decair em bárions e em antibárions com taxas diferentes mesmo com vida média igual à da antipartícula (próxima seção).

Resultado. CPT ⇒ ma=maˉ, τa=τaˉ e ∑f[Γ(i→f)−Γ(iˉ→fˉ)]=0. Os testes do texto, ∣mK0−mKˉ0∣<10−18 mK e o espectro do anti-hidrogênio, testam o primeiro; qualquer diferença de massa ou de vida média total seria sinal de física fora da teoria quântica de campos local e hermitiana. O último exemplo mostra que a violação de CP vista em káons e mésons B é compatível com CPT: só redistribui a taxa entre canais.