Os 19 parâmetros livres

Dezenove parâmetros fundamentais determinam tudo. Nenhuma teoria atual os deriva; são fixados experimentalmente.

Forte, fraca e hipercarga.

Fixam mH≈125 GeV e a escala eletrofraca.

Um acoplamento por férmion carregado.

Três ângulos e uma fase de violação de CP.

O ângulo de Weinberg

θW não é um parâmetro independente: é a razão entre os dois acoplamentos eletrofracos, tan⁡θW=g′/g. Ele aparece em três lugares que se podem medir separadamente: na carga elétrica e=gsin⁡θW, na razão de massas mW/mZ=cos⁡θW e nos acoplamentos do Z (T3−sin⁡2θWQ, por exemplo nas assimetrias de e+e−→ffˉ). Que as três medidas deem o mesmo ângulo (a menos de correções quânticas calculáveis) é um dos testes mais precisos do Modelo Padrão. No gráfico, o fundo é o custo de massa; a direção sem custo é o fóton; a perpendicular é o Z. O triângulo embaixo mostra como g, g′ e e se relacionam e como viram mW e mZ.

O ângulo como rotação no plano (W3,B) é o widget de mistura em A quebra espontânea de simetria.

A contagem ingênua de números na Lagrangiana é grande demais: as matrizes de Yukawa têm dezenas de entradas, mas a maioria é apenas convenção de base. Conta-se o que sobra depois de usar toda a liberdade de redefinir os campos de férmions (ψ→Uψ, com U unitária, que não muda os termos cinéticos nem a gauge). Convenção: parâmetros reais.

Os que não são de sabor Três acoplamentos de gauge gs,g,g′; dois do potencial de Higgs μ2,λ (ou v,mH); e o ângulo θQCD do termo θgs232π2GG~. Total: 3+2+1=6.

Entradas dos Yukawas Há três matrizes 3×3 complexas, Yu,Yd,Ye (os neutrinos serão tratados no passo 6). Cada uma tem 9 números complexos, 18 reais: NY=3×18=54.

A liberdade de redefinição Os cinco tipos de campo QL,uR,dR,LL,eR podem ser rodados por uma U(3) cada, sem alterar nada além das matrizes de Yukawa. Uma U(3) tem 32=9 parâmetros reais: 5×9=45 geradores.

O que as rotações não conseguem mexer Uma rotação que deixa as Yukawas invariantes não remove nada. Para Yukawas genéricas as únicas assim são fases globais: o número bariônico B (mesma fase para todos os quarks) e os três números leptônicos Le,Lμ,Lτ (uma fase por sabor leptônico; sem massa de neutrino não há mistura entre léptons). São 4 geradores. Logo as rotações realmente efetivas são 45−4=41, e NfisYuk=54−41=13. Os 13 são exatamente: 6 massas de quarks, 3 massas de léptons, 3 ângulos de mistura e 1 fase da CKM (contagem da CKM). As 4 simetrias remanescentes são o motivo de B e os Li serem conservados na teoria renormalizável (de forma clássica).

Somar N=3⏟gs,g,g′+2⏟μ2,λ+1⏟θQCD+13⏟sabor=19. Em termos mais familiares: 3 acoplamentos, 2 do Higgs, 9 massas (6 quarks, 3 léptons carregados), 3 ângulos e 1 fase da CKM, θQCD: 3+2+9+3+1+1=19.

Com neutrinos massivos Dirac (acrescentando νR): Yν soma 18 reais e mais uma U(3) para νR (9 geradores); os números leptônicos Le,Lμ,Lτ se reduzem ao L total (1 simetria). Leptons: 36 entradas, 27−1=26 rotações efetivas, 36−26=10 físicos (6 massas, 3 ângulos, 1 fase). Quarks: 36−(27−1)=10. Total 6+10+10=26. Majorana (operador de Weinberg, matriz de massa simétrica 3×3 complexa, 12 reais): Ye 18 + 12 = 30 entradas, rotações 18 (sem simetria remanescente, L quebrado), 30−18=12 físicos (3+3 massas, 3 ângulos, 3 fases); N=6+10+12=28: as duas fases extras são os α1,2 de PMaj da PMNS.

De medidas a g,g′,v,λ Os números do cartão da seção saem de observáveis. Com GF=1,1664×10−5 GeV−2: v=(2GF)−1/2=246,22 GeV. Com α(mZ)=1/127,95, sin⁡2θW=0,2312: e=4πα=0,3134, g=e/sin⁡θW=0,652, g′=e/cos⁡θW=0,357. Com αs(mZ)=0,118: gs=4παs=1,218. Com mH=125 GeV: λ=mH2/2v2=0,129.

Resultado. 19=3+2+1+(54−41), com o setor de sabor contribuindo 13=9+3+1. Com neutrinos de Dirac são 26 e com Majorana 28 (6 + 10 + 12). Todos os valores numéricos do cartão da seção conferem: gs=1,218, g=0,652, g′=0,357, v=246,2 GeV, λ=0,129.