Como a força fraca age: isospin, W± e Z⁰

A força fraca é a única que transforma uma partícula em outra: um nêutron em próton, um múon em elétron, um quark b em c. Ela faz o Sol queimar, os elementos radioativos decaírem e os neutrinos serem detectados. Tudo isso sai de um único termo, ψˉiγμDμψ, com a parte SU(2)L da derivada covariante.

Os férmions de mão esquerda vêm em pares: (νe,e), (u,d), e o mesmo nas outras gerações. O par é chamado de dubleto de isospin fraco; a de cima tem T3=+12, a de baixo, T3=−12. O bóson W+ sobe no par (transforma d em u, e em ν), o W− desce. Como o W tem carga elétrica, a carga da partícula muda junto, exatamente por uma unidade.

O Z0 não troca a partícula: ele só a empurra, como o fóton, mas com uma intensidade que depende do isospin e da carga, e alcança até os neutrinos, que são neutros. Os dois são muito pesados (80 e 91 GeV), por isso a força tem alcance de 10−18 m e parece fraca em baixas energias. E só a mão esquerda sente o W: a força fraca distingue o mundo do seu reflexo no espelho.

O isospin fraco: quem forma par com quem

O que o W faz: a corrente carregada

Expandindo LˉLiγμDμLL com W±=(W1∓iW2)/2, os termos com σ1 e σ2 se reorganizam nos geradores de subida e descida T±=(σ1±iσ2)/2. Cada termo tem um campo que entra e outro diferente que sai: a identidade muda.

O W tem cerca de 80 GeV, mas o decaimento do nêutron libera só 0,78 MeV. O W existe apenas como partícula virtual, por um tempo minúsculo, e é por isso que a interação fraca é fraca e de curto alcance. No vértice entra a corrente carregada g2 uˉ γμPL Vud d Wμ+.

A animação dos geradores T+, T− e TZ agindo no dubleto, passo a passo, está na seção do setor dos férmions após a quebra, em “Geradores de subida, descida e neutro”.

O que o Z faz: a corrente neutra

O W3 e o B se misturam em Z e fóton. O Z acopla a cada férmion com a carga neutra TZ=T3−sin⁡2θWQ, diferente para as mãos esquerda (T3≠0) e direita (T3=0). Costuma-se escrever em termos de acoplamentos vetorial e axial:

A corrente neutra do texto é gcos⁡θWZμ fˉγμ(T3PL−Qsin⁡2θW)f, com PL=12(1−γ5). Mostra-se como isso vira a forma gV,gA da tabela e usa-se o resultado para calcular a largura de decaimento do Z em ffˉ (massa dos férmions desprezada), contando neutrinos.

Separar vetorial e axial Escrevendo PL e fatorando 12: T3PL−Qsin⁡2θW=12[(T3−2Qsin⁡2θW)−T3γ5]≡12 (gV−gAγ5). Isto dá gV=T3−2Qsin⁡2θW e gA=T3, os valores do texto. Para o neutrino, Q=0: gV=gA=12 (só mão esquerda, νR não existe). Em geral, gLPL+gRPR=12(gL+gR)−12(gL−gR)γ5, então gV=gL+gR e gA=gL−gR; o gA=T3 é só a parte esquerda, a única que o isospin toca.

A tabela de valores Com sin⁡2θW=0,2312: ν: gV=0,500; e,μ,τ (T3=−12, Q=−1): gV=−12+2×0,2312=−0,038; quark u (T3=12, Q=23): 12−43×0,2312=+0,192; d (T3=−12, Q=−13): −12+23×0,2312=−0,346. Batem com a tabela. O gV do lépton carregado é quase zero porque sin⁡2θW≈14, isto é, 1−4sin⁡2θW≈0,075.

A amplitude de Z→ffˉ Com L=−g2cos⁡θWfˉγμ(gV−gAγ5)f Zμ, M=−g2cos⁡θW εμ uˉ(p1)γμ(gV−gAγ5)v(p2). Somando os spins dos férmions sem massa: ∑∣M∣2=g24cos⁡2θW εμεν∗ Tr⁡[p̸1γμ(gV−gAγ5)p̸2γν(gV−gAγ5)].

O traço Usando γ5p̸=−p̸γ5 e (γ5)2=1, o traço vale 4(gV2+gA2)(p1μp2ν+p1νp2μ−gμν p1⋅p2) mais um termo antissimétrico ∝gVgA ϵμναβp1αp2β. Na soma sobre as três polarizações do Z, ∑εμεν∗=−gμν+qμqν/mZ2 é simétrica, então a parte antissimétrica some, e o termo qμqν também (corrente conservada, qμuˉγμ(…)v=0 para massa nula). Contraindo com −gμν e usando p1⋅p2=mZ2/2: ∑pol∑spins∣M∣2=g24cos⁡2θW⋅8 (gV2+gA2) p1⋅p2=g2mZ2cos⁡2θW (gV2+gA2).

Largura Média sobre as 3 polarizações do Z e espaço de fase 1/8π (massa nula), com cor Nc: Γ=12mZ 18π Nc3 g2mZ2cos⁡2θW(gV2+gA2)=Nc g2mZ48πcos⁡2θW(gV2+gA2). De mZ=gv/2cos⁡θW segue g2/cos⁡2θW=4mZ2/v2=42 GFmZ2. Portanto Γ(Z→ffˉ)=Nc GF mZ362 π (gV2+gA2).

Contando neutrinos O fator comum é GFmZ3/(62π)=0,3318 GeV, com GF=1,1664×10−5 GeV−2 e mZ=91,1876 GeV. Por sabor de neutrino, gV2+gA2=12: Γ(Z→ννˉ)=0,1659 GeV=166 MeV,3 Γ(ννˉ)=498 MeV. Para o elétron, gV2+gA2=0,03762+0,25=0,2514 e Γ(Z→e+e−)=83,4 MeV.

Resultado. gV=T3−2Qsin⁡2θW, gA=T3 e Γ(Z→ffˉ)=NcGFmZ362π(gV2+gA2). A largura invisível prevista em nível árvore para três neutrinos leves é 498 MeV, e a medida no LEP é cerca de 499 MeV (valor citado, não calculado aqui; correções de loop são de ordem 0,3%): três famílias, como o texto afirma. Para o elétron, 83,4 MeV, contra ≈84 MeV medido (citado).

Por que é fraca: o propagador pesado

Num processo de baixa energia, como o decaimento beta, o momento transferido q é de poucos MeV, muito menor que mW. O propagador do W vira praticamente uma constante, e a interação parece pontual, com intensidade dada pela constante de Fermi:

Com a interação de quatro férmions de Fermi obtida do propagador pesado do W (GF/2=g2/8mW2), calcula-se a taxa de μ−(p)→e−(k) νˉe(q1) νμ(q2). Desprezam-se me e as correções radiativas. É o processo que, historicamente, define o valor de GF.

A amplitude O propagador −igμνq2−mW2→igμνmW2 e os dois vértices −ig2γμPL dão M=GF2 [uˉ(q2)γμ(1−γ5)u(p)] [uˉ(k)γμ(1−γ5)v(q1)]. (Os fatores: g22⋅14⋅1mW2=g28mW2, cada PL=12(1−γ5).)

Soma sobre spins Cada colchete, ao quadrado, vira um traço. Como (1−γ5)(p̸+m)γν(1−γ5)=2p̸γν(1−γ5) (o termo de massa some), tem-se GF22⋅2⋅2 Tr⁡[q̸2γμp̸γν(1−γ5)] Tr⁡[k̸γμq̸1γν(1−γ5)]. A identidade Tr⁡[a̸γμb̸γν(1−γ5)]Tr⁡[c̸γμd̸γν(1−γ5)]=64 (a⋅c)(b⋅d) (conferida numericamente aqui com matrizes de Dirac) dá, após a média sobre o spin do múon (fator 12): ∣M∣2‾=12⋅GF22⋅4⋅64 (q2⋅k)(p⋅q1)=64 GF2 (p⋅q1)(k⋅q2).

A integral sobre os dois neutrinos Com q=q1+q2=p−k, o tensor ∫ ⁣d3q12E1d3q22E2δ4(q−q1−q2) q1αq2β=π24 (q2gαβ+2qαqβ) (invariância de Lorentz; o traço e a contração com qαqβ fixam as duas constantes). Contraindo com pαkβ: π24[q2 p⋅k+2 (p⋅q)(k⋅q)]. No repouso do múon, com E a energia do elétron e me=0: p⋅k=mE, q2=m2−2mE, p⋅q=m2−mE, k⋅q=mE. O colchete vale mE(m2−2mE)+2(m2−mE)mE=m2E(3m−4E).

A integral sobre o elétron Com Γ=12m∫d3k(2π)32E 1(2π)6(2π)4∫(…) ∣M∣2‾ e d3k=4πE2dE para 0≤E≤m/2: Γ=12m1(2π)5 64GF2 π24∫0m/2 ⁣4πE2dE2E m2E(3m−4E)=12m64GF232π5π24 2πm2 ⁣∫0m/2 ⁣E2(3m−4E) dE. A integral é [mE3−E4]0m/2=m48−m416=m416. Juntando: 12m⋅2GF2π5⋅π24⋅2πm2⋅m416=GF2m5192π3.

O espectro do elétron, como conferência O integrando em E, dΓ/dE∝E2(3m−4E), é o espectro de Michel: com x=2E/m, dΓ/dx∝x2(3−2x). Cresce com E, vale 1 em x=1 (máximo cinemático, E=m/2=52,8 MeV) e é cortado bruscamente aí, o pico na borda que se vê nos dados do decaimento do múon. A integral em x dá ∫01x2(3−2x)dx=1−12=12, coerente com o passo 4 (∫0m/2E2(3m−4E)dE=m4/16).

O tempo de vida Com GF=1,1664×10−5 GeV−2 e mμ=0,105658 GeV, Γ=3,009×10−19 GeV. Com ℏ=6,582×10−25 GeV s: τμ=ℏΓ=192π3ℏGF2mμ5=2,187 μs.

Resultado. Γ(μ→eνˉeνμ)=GF2mμ5192π3, τμ=2,187 μs, contra 2,197 μs medido (citado): a diferença de 0,4% é a correção radiativa e da massa do elétron, não incluídas. Lida ao contrário, a medida de τμ fixa GF e, por GF/2=g2/8mW2, a escala eletrofraca v=246 GeV.

Cinco processos

Sempre entre os membros de um dubleto, com a carga mudando em ±1. Entre gerações, com probabilidade ∣Vij∣2 (quarks, CKM) ou pela mistura de neutrinos (PMNS).

Correntes neutras: espalhamento de neutrinos, assimetrias em e+e−→μ+μ−, violação de paridade em átomos.

O W acopla só a ψL; o Z acopla às duas mãos com pesos diferentes. Por isso o experimento de Wu viu elétrons saindo contra o spin.

A massa vem do Higgs; o alcance é mil vezes menor que o raio do próton.

Nêutron (udd)→ próton (uud): um d (Q=−13, T3=−12) vira u (Q=+23, T3=+12). A carga sobe em +1 e o isospin em +1: exatamente o que um W− emitido leva embora com sinal trocado. O W− (Q=−1) então desce no dubleto leptônico criando e− (Q=−1) e νˉe (Q=0). Em cada vértice, carga, isospin e número leptônico se conservam.