Interação do Higgs com os férmions

Quando o Higgs adquire VEV, os termos de Yukawa se desdobram em massa + interação. O acoplamento Hffˉ é proporcional à massa do férmion.

Como cada acoplamento de Yukawa vira um termo de massa quando ϕ→(0,v+h)/2 está em setor de Yukawa.

Diagonalização das matrizes de Yukawa

Mistura: matrizes CKM e PMNS

Os Yukawas Yu,Yd são matrizes 3×3 arbitrárias no espaço de sabor. Mostra-se que a mesma rotação que diagonaliza a matriz de massa diagonaliza o acoplamento ao Higgs, de modo que h só acopla cada férmion a si mesmo com força mf/v, enquanto o W herda uma matriz de mistura, a CKM. Convenção deste passo a passo: o campo original é ψL=UψL′ em termos do campo de massa definida ψ′, a mesma do texto: Y=ULYdiagUR† e VCKM=UL†DL.

Yukawa com o campo de Higgs expandido Para os quarks tipo d, L⊃−YdijQˉLiϕ dRj+h.c.. Com ϕ=12(0,v+h)T o dubleto QL=(uL,dL)T seleciona a componente de baixo: L⊃−Ydij2 (v+h) dˉLidRj+h.c.=−dˉL Md dR(1+hv)+h.c.,Md=v2Yd. O fator comum (1+h/v) é o ponto-chave: a matriz de massa e a matriz de acoplamento ao h são a mesma, Md (e Mu para os u).

Diagonalização bi-unitária Toda matriz complexa pode ser escrita Md=ULd Mdiagd URd†, com Mdiag real, positiva e diagonal (decomposição em valores singulares). Substituindo dL=ULddL′ e dR=URddR′ (as rotações unitárias não alteram o termo cinético): dˉL Md dR=dˉL′ ULd† Md URd dR′=dˉL′ Mdiagd dR′.

O Higgs sai diagonal Como h multiplica a mesma matriz Md, a rotação do passo 2 o deixa diagonal também: L⊃−∑fmf fˉf(1+hv),ghff=mfv=yf2. Não há termo h dˉidj com i≠j: não existem correntes neutras com troca de sabor mediadas pelo Higgs em nível árvore. Isso vale com um único dubleto; num modelo com dois dubletos os dois acoplamentos podem ser matrizes diferentes e o argumento falha (daí o requisito de simetria extra em 2HDM).

O W vê a diferença entre as rotações A corrente carregada uˉLγμdL (seção do W) contém campos originais. Aplicando as duas rotações: uˉLγμdL=uˉL′ (ULu†ULd)γμdL′≡uˉL′ VCKMγμdL′. As rotações de u e de d são independentes (Mu e Md são matrizes diferentes), então em geral ULu≠ULd e V≠1. Já na corrente neutra dˉLγμdL→dˉL′ULd†ULdγμdL′=dˉL′γμdL′: sem mistura, o GIM do texto de CKM.

Os números: yf=2 mf/v Com v=246,22 GeV: yt=2×172,7/246,22=0,992 (quase 1: o único Yukawa de ordem unitária); yb=2×4,18/246,22=0,0240; yτ=0,0102; ye=2,94×10−6. O acoplamento ghff=mf/v vale 0,70 para o top e 2,1×10−6 para o elétron.

Resultado. mf=yfv/2 e ghff=mf/v: o acoplamento ao Higgs é diagonal no sabor e proporcional à massa; a única matriz não diagonal é a VCKM=ULu†ULd no vértice do W. Os valores acima conferem com a coluna yf da tabela da seção (por exemplo yt=0,99, ye=2,94×10−6); o yb da tabela, 2,37×10−2, corresponde a mb≈4,13 GeV, uma diferença de definição da massa do b (a de 4,18 GeV dá 0,0240).

Os parâmetros, o triângulo unitário e a violação de CP estão em matriz CKM; as oscilações e a PMNS, em neutrinos.

Massas e acoplamentos de Yukawa

Massas em GeV, eixo logarítmico (de 0,01 eV a 1 TeV). Os férmions ganham massa mf=yfv/2; os bósons, mW=gv/2, mZ=mW/cos⁡θW, mH=2λ v. Mude v e tudo isso escala junto. O próton quase não se mexe: cerca de 99% da sua massa é energia de glúons e quarks confinados (QCD), não Higgs. Os neutrinos têm massa, mas ela não vem do Yukawa do Modelo Padrão mínimo. Fóton e glúons ficam em zero. Toque numa barra para ver de onde vem a massa. A hierarquia yt≈1 contra ye≈3×10−6 é um dos grandes enigmas sem explicação.