Setor do campo de Higgs — o bóson físico

Escrevendo ϕ→12(0, v+ρ(x)), a Lagrangiana de Higgs revela um campo escalar físico ρ com massa mH e auto-interações cúbica e quártica.

O potencial é V(ϕ)=−μ2ϕ†ϕ+λ(ϕ†ϕ)2 (o sinal do texto, com μ2>0). No gauge unitário ϕ=12(0, v+ρ)T, de modo que ϕ†ϕ=12(v+ρ)2. Mostra-se como saem a posição do mínimo, a massa e os vértices cúbico e quártico, e checa-se com mH=125 GeV.

O potencial como função de ρ V(ρ)=−μ22(v+ρ)2+λ4(v+ρ)4. O vácuo é o mínimo; v é o valor de ϕ nele, ainda a determinar.

Condição de mínimo V′(ρ)=−μ2(v+ρ)+λ(v+ρ)3. Em ρ=0 o termo linear do desenvolvimento deve sumir (senão ρ=0 não seria o vácuo): −μ2v+λv3=0 ⇒ v2=μ2λ (v≠0). Aqui aparece o resultado do texto, v=μ2/λ; v=0 é o máximo local, onde V′′=−μ2<0.

Expandir as potências Com (v+ρ)2=v2+2vρ+ρ2 e (v+ρ)4=v4+4v3ρ+6v2ρ2+4vρ3+ρ4, agrupando por potência de ρ: V=−μ22v2+λ4v4⏟V0+ρ[−μ2v+λv3]+ρ2[−μ22+3λ2v2]+λv ρ3+λ4ρ4.

Usar μ2=λv2 O colchete linear vale zero (passo 2). O quadrático vale −λv22+3λv22=λv2, e o termo constante V0=−λv44. O termo cinético de ϕ dá ∂μϕ†∂μϕ=12(∂ρ)2. Logo L=12∂μρ ∂μρ−λv2ρ2−λvρ3−λ4ρ4−V0. Comparando λv2ρ2 com a forma canônica 12mH2ρ2: mH2=2λv2=2μ2.

Escrever tudo em mH e v De λ=mH2/(2v2): λv=mH22v,λ4=mH28v2. As regras de Feynman levam o fatorial de permutações das linhas idênticas: o vértice ρ3 vale −i 3! λv=−3i mH2/v e o ρ4 vale −i 4! λ4=−3i mH2/v2.

Números Com mH=125 GeV e v=246,22 GeV (de GF=1,1664×10−5 GeV−2, v=(2GF)−1/2): λ=mH2/2v2=0,1289; λv=31,7 GeV; vértice ρ3: 3mH2/v=190,4 GeV. A energia do vácuo é V0=−λv4/4=−mH2v2/8=−1,18×108 GeV4, da ordem de (100 GeV)4.

Resultado. v2=μ2/λ, mH2=2λv2, cúbico λv=mH2/2v≈31,7 GeV, quártico λ/4=mH2/8v2, λ≈0,129. A constante V0=−λv4/4 é uma energia de vácuo negativa de ordem 108 GeV4, cerca de 5×1054 vezes maior em módulo que a densidade de energia escura observada (∼2,5×10−47 GeV4, valor aproximado): é um dos ângulos do problema da constante cosmológica, que o Modelo Padrão não resolve. Sem gravidade ela é descartada.

Expandindo o potencial em torno do vácuo, ϕ0=(v+ρ)/2: V(ρ)=12mH2ρ2+λvρ3+λ4ρ4. O primeiro termo (verde) é uma mola perfeita: a massa do Higgs. Os outros dois (rosa e roxo) deformam a mola e são as auto-interações hhh e hhhh. Para oscilações pequenas a mola domina e o movimento é harmônico; aumente a amplitude e a assimetria cúbica aparece: o campo vai mais longe de um lado que do outro. A bolinha é integrada numericamente com esse potencial (λ=0,13, v=246 GeV).