Setor dos campos férmions — após a quebra

A forma cinética ψ‾ iγμDμψ é a mesma — mas Dμ agora é expressa em W±, Z e Aμ, e o grupo de simetria remanescente é SU(3)C×U(1)em.

A parte eletrofraca da derivada covariante dos férmions é Dμ⊃ig TaWμa+ig′ YBμ, com Q=T3+Y. Reescreve-se isso nos campos de massa definida W±,Z,A (definidos em Gauge e massas) e obtém-se o acoplamento de cada um, incluindo a carga neutra do Z, T3−sin⁡2θW Q, do texto.

Separar a parte carregada Com T±=T1±iT2 e W±=(W1∓iW2)/2: T1W1+T2W2=12[T+(W1−iW2)+T−(W1+iW2)]=12(T+W++T−W−). Conferência da primeira igualdade: 12[T1W1−iT1W2+iT2W1+T2W2+T1W1+iT1W2−iT2W1+T2W2]=T1W1+T2W2. Ficam g2(T+W++T−W−), o termo carregado do texto.

Inverter a rotação neutra Do texto, Z=cos⁡θWW3−sin⁡θWB e A=sin⁡θWW3+cos⁡θWB. A rotação é ortogonal, então a inversa é a transposta: W3=cos⁡θW Z+sin⁡θW A,B=−sin⁡θW Z+cos⁡θW A.

Substituir na parte neutra Abreviando c=cos⁡θW, s=sin⁡θW: gT3W3+g′YB=(g s T3+g′ c Y)A+(g c T3−g′ s Y)Z.

O coeficiente do fóton Com e=g s=g′ c (massas e rotação), g s T3+g′ c Y=e (T3+Y)=e Q: o fóton acopla à carga elétrica, a mesma para as duas mãos, como deve ser. Esta é a verificação de que a rotação foi escolhida certo: o fóton só enxerga Q=T3+Y.

O coeficiente do Z Usando g′=g s/c e Y=Q−T3: g c T3−g′ s Y=gc(c2T3−s2Y)=gc(c2T3−s2Q+s2T3)=gcos⁡θW(T3−sin⁡2θW Q). (Usou-se c2+s2=1.) Reunindo os passos 1, 4 e 5 obtém-se exatamente a Dμ do texto: Dμ⊃ig2(T+Wμ++T−Wμ−)+igcos⁡θW(T3−sin⁡2θWQ)Zμ+ieQAμ.

Conferência com os dois ramos de hipercarga Para o eR (T3=0, Y=Q=−1) o passo 3 dá, direto, g′cY=−e para o fóton e −g′sY=+g′s para o Z; pela fórmula do passo 5, gc(0+s2)=gcs2=g′s. Os dois caminhos coincidem, como se espera de uma identidade.

Resultado. gZ(f)=gcos⁡θW (T3−sin⁡2θW Q) e gγ(f)=eQ. Com sin⁡2θW=0,2312, α=1/127,95 (g/cos⁡θW=0,7433): νL: +0,372; eL: −0,200; eR: +0,172. O elétron esquerdo e o direito sentem o Z com sinais opostos, enquanto o fóton os trata igual: é a origem da violação de paridade do Z (próxima seção).

Visualização simplificada (abeliana): em cada setor, o mostrador é a fase interna θ(x) do férmion e a curva é o campo de gauge A(x). Aperte o botão: uma transformação local α(x) gira cada mostrador por um ângulo diferente em cada ponto. A derivada comum ∂θ muda, mas a covariante Dθ=∂θ−A não, porque o campo se transforma junto, A→A+∂α. É para isso que os bósons de gauge existem. Repare na forma de cada mostrador: em U(1) o estado interno é só uma fase, um ponto num círculo; em SU(2) o dubleto pode apontar para qualquer direção de uma esfera (a esfera de Bloch: SU(2) é ela própria uma 3-esfera, e gira esse vetor em 3 eixos); em SU(3) o estado mistura as três cores.

Depois da quebra não há mais um setor eletrofraco unificado: a força forte (QCD, glúons) permanece intacta, enquanto o eletrofraco se fragmenta numa corrente fraca massiva — W± (teal) e Z (roxo) — e na interação eletromagnética sem massa, o fóton Aμ (amarelo), com carga eQ=e(T3+Y).

Geradores de subida, descida e neutro

As matrizes de Pauli σ1 e σ2 misturam as duas componentes do dubleto; σ3 só as distingue. Recombinando, T±=(σ1±iσ2)/2 são operadores que sobem ou descem exatamente um degrau de isospin (como os operadores de momento angular J± na mecânica quântica), e T3 mede o degrau. Na Lagrangiana, g(W1T1+W2T2)=g2(W+T++W−T−): cada W carrega um desses operadores. O Z e o fóton ficam com as partes diagonais.

Promove transições para cima no dubleto de isospin (via W+).

Transições opostas (via W−).

Diagonal: contribui para a corrente do Z0.

Transformações de gauge — só U(1)em sobra

Das três simetrias de gauge originais, só SU(3)C×U(1)em permanece exata. Cada campo agora gira apenas por sua carga elétrica Q=T3+Y (mais a cor, para os quarks). As correntes fracas não somem — continuam, mas mediadas pelos W± e Z massivos, e não mais por uma simetria local exata.

O termo uˉLγμdLWμ+ deve ser invariante pela fase eletromagnética. Some as cargas de quem é aniquilado e subtraia as de quem é criado: uˉ contribui −23, d contribui −13 e W+ contribui +1. Total: −23−13+1=0, e as fases se cancelam: ei(−2/3−1/3+1)αem=1. O mesmo vale para νˉLγμeLWμ+: 0−1+1=0. Toda interação do Modelo Padrão passa nesse teste; é a conservação da carga elétrica vértice a vértice.