Setor cinético e de massas dos campos de gauge

A Lagrangiana de gauge se reorganiza nos campos físicos. Surgem termos de massa para W± e Z; o fóton e os glúons permanecem sem massa.

Transformações de gauge (após a quebra)

Após a quebra, a simetria local exata é apenas SU(3)C×U(1)em. Cada campo de gauge físico transforma-se segundo sua carga elétrica Q: os carregados (W±) giram por uma fase, os neutros (Z, fóton, glúon) ficam invariantes. O fóton ainda carrega seu próprio termo inomogêneo abeliano, herdado do Bμ — é a invariância de gauge da QED.

Por que cada um transforma assim. Sob uma rotação de U(1)em com parâmetro αem(x), um campo de carga Q ganha a fase eiQαem. Os W± têm carga ±1 e giram; o Z, o fóton e os glúons são neutros e não giram. O fóton é o único que ainda carrega o termo inomogêneo, porque é o campo de gauge da simetria que sobrou. Os W± se comportam agora como partículas carregadas comuns (como um elétron de spin 1), acoplados ao fóton pela derivada covariante DμWν+=(∂μ+ieAμ)Wν+.

Parte-se do dubleto de Higgs no vácuo, ϕ0=12(0, v)T, com hipercarga Y=12 e a derivada covariante do texto, Dμ=∂μ+ig TaWμa+ig′ YBμ (Ta=σa/2). Todo o termo de massa dos bósons vem de (Dμϕ)†(Dμϕ) calculado em ϕ0. Mostra-se que a forma quadrática em (W1,W2,W3,B) tem exatamente uma direção sem massa e identifica-se qual.

A derivada covariante agindo no vácuo Com σaWa=(W3W1−iW2W1+iW2−W3) e ϕ0=(0,v/2)T, o termo ∂μϕ0 é nulo e Dμϕ0=iv22(g (Wμ1−iWμ2)−gWμ3+g′Bμ). A primeira componente só contém W1,W2; a segunda só W3 e B. Por isso o setor carregado e o neutro se separam.

Termo de massa e o W± Tomando ∣Dμϕ0∣2: (Dμϕ0)†(Dμϕ0)=v28[g2(Wμ1W1μ+Wμ2W2μ)+(gWμ3−g′Bμ)(gW3μ−g′Bμ)]. Com W±=(W1∓iW2)/2 vale W1W1+W2W2=2W+W−. O termo carregado é g2v24Wμ+W−μ. Comparando com a forma canônica mW2Wμ+W−μ do texto: mW=12 gv.

O setor neutro como forma quadrática Escrevendo o segundo termo como 12 VTM2V com V=(W3,B)T: M2=v24(g2−gg′−gg′g′2),det⁡M2=v416(g2g′2−g2g′2)=0. O determinante é zero: há um autovalor nulo. Isso não é um acaso, é consequência de a matriz ser da forma u uT com u=(g,−g′): tem posto 1.

Autovalores e autovetores O traço dá o outro autovalor, tr⁡M2=v24(g2+g′2). Verificação direta dos autovetores: M2(g′g)=v24(g2g′−gg′g−gg′g′+g′2g)=0,M2(g−g′)=v24(g2+g′2)(g−g′). Normalizando, com tan⁡θW=g′/g, isto é, sin⁡θW=g′/g2+g′2 e cos⁡θW=g/g2+g′2: Aμ=sin⁡θW Wμ3+cos⁡θW Bμ (mA=0),Zμ=cos⁡θW Wμ3−sin⁡θW Bμ (mZ=12g2+g′2 v).

A rotação preserva os termos cinéticos; a carga e A matriz (cos⁡θW−sin⁡θWsin⁡θWcos⁡θW) é ortogonal, portanto −14(Wμν3)2−14Bμν2=−14Zμν2−14Fμν2 (a parte abeliana): os campos físicos têm normalização canônica. O acoplamento do fóton a um campo de isospin T3 e hipercarga Y sai de gT3W3+g′YB⊃(gsin⁡θW T3+g′cos⁡θW Y)A. Exigir que isso seja e (T3+Y) fixa e=gsin⁡θW=g′cos⁡θW=gg′g2+g′2⟺1e2=1g2+1g′2.

A razão das massas Dividindo os resultados dos passos 2 e 4: mWmZ=gg2+g′2=cos⁡θW.

Resultado. mW=12gv, mZ=12g2+g′2 v, mγ=0, mW=mZcos⁡θW e e=gsin⁡θW. Numericamente, com v=246,22 GeV (de GF), sin⁡2θW=0,2312 e α=1/127,95 (e=0,3134, g=0,6518, g′=0,3574): mW=80,24 GeV, mZ=91,51 GeV e cos⁡θW=0,8768. É um resultado em nível árvore: o mZ medido, 91,19 GeV, difere em 0,35% por correções de loop e pela escolha do esquema de entrada.

Uma carga cercada pelo campo do bóson que a força troca. Com bóson sem massa (fóton, em cima), o potencial é V∝1/r: cai devagar e alcança qualquer distância. Com bóson massivo (embaixo), V∝e−mr/r (potencial de Yukawa): morre exponencialmente além de r∼ℏ/mc. Para o W (80,4 GeV) esse alcance é ℏc/mWc2≈0,0025 fm, mil vezes menor que um próton. É por isso que a força fraca parece fraca e de contato, embora seu acoplamento seja maior que o eletromagnético.

Seja um multipleto complexo de Higgs de isospin T e hipercarga Y, cuja componente neutra tem T3=−Y (para Q=T3+Y=0) e valor esperado ⟨ϕ⟩=vϕ/2. Calcula-se mW e mZ para um T qualquer, com a mesma derivada covariante de acima, e forma-se ρ=mW2/(mZ2cos⁡2θW). (Campos reais, como um tripleto com Y=0, precisam de um fator 2 a mais na normalização e ficam de fora.)

A parte neutra de Dμϕ Na componente T3 do vácuo, gT3W3+g′YB=T3 (gW3−g′B), pois Y=−T3. Como gW3−g′B=g2+g′2 Z (campo Z da seção), o termo neutro de ∣Dμϕ∣2 é vϕ22 T32 (g2+g′2) ZμZμ≡12mZ2ZμZμ ⇒ mZ2=(g2+g′2) T32 vϕ2.

A parte carregada Os termos com W1,W2 vêm de g2⟨ϕ∣(T1W1+T2W2)2∣ϕ⟩. Num autoestado de T3 o valor esperado de {T1,T2} é nulo (ele muda T3 em ±2) e ⟨T12⟩=⟨T22⟩. Como T12+T22=T 2−T32: ⟨T12⟩=⟨T22⟩=12[T(T+1)−T32]. Os produtos cruzados com a parte neutra somem porque ⟨ϕ∣T±∣ϕ⟩=0. Logo o termo é g2vϕ24[T(T+1)−T32](W1W1+W2W2)=g2vϕ22[T(T+1)−T32]W+W−: mW2=g2vϕ22[T(T+1)−T32].

O parâmetro ρ Como (g2+g′2)cos⁡2θW=g2, o g se cancela. Com vários multipletos, somam-se as contribuições ponderadas por vi2: ρ=mW2mZ2cos⁡2θW=∑i[Ti(Ti+1)−T3i2]vi22∑iT3i2 vi2.

Dubleto: ρ=1 T=12, T3=−12: T(T+1)−T32=34−14=12 e 2T32=12. Então ρ=1 e mW2=g2v2/4, o resultado do texto. O valor 1 não depende de g,g′,v; é consequência do conteúdo de multipletos (da simetria custodial residual).

Tripleto complexo (T=1, Y=1, T3=−1) T(T+1)−T32=2−1=1 e 2T32=2: ρ=12, diferente de 1. Para um dubleto mais um tripleto, com VEVs vD e vT: ρ=12vD2+vT212vD2+2vT2=vD2+2vT2vD2+4vT2≃1−2vT2v2,v2=vD2+2vT2.

Resultado. ρ=∑[T(T+1)−T32]v22∑T32v2: vale 1 para dubletos (e singletos) e se afasta de 1 para qualquer outro multipleto com VEV. Exemplo: se ∣ρ−1∣ for medido menor que 10−3, um tripleto só pode ter vT<v10−3/2=5,5 GeV, isto é, 2% do VEV total de 246 GeV. É por isso que ρ é um teste tão sensível do setor de Higgs.