Setor de interação Yukawa

Os termos de Yukawa acoplam os dubletos esquerdos ao Higgs e aos singletos direitos. São a única fonte de massa dos férmions no Modelo Padrão.

Uma partícula de matéria tem duas metades, a canhota e a destra. Uma massa é justamente o que mistura as duas: uma partícula com massa, vista por um observador que a ultrapasse, troca de mão. Mas no Modelo Padrão as duas metades têm cargas diferentes (só a canhota está num dubleto da força fraca), então um termo de massa comum quebraria a simetria e é proibido.

A saída é ligar as duas metades através do Higgs: o termo de Yukawa junta uma canhota, uma destra e um Higgs, e as cargas fecham. Enquanto o Higgs vale zero, nada acontece. Quando ele assume o valor de vácuo v, o termo vira uma massa. Cada férmion tem seu próprio número de acoplamento yf, e por isso cada um tem uma massa diferente.

Por que o termo é permitido: a contabilidade da hipercarga

Um termo da Lagrangiana só é permitido se for invariante, ou seja, se as cargas de todos os campos somarem zero. Os campos com barra entram com o sinal trocado. Para o quark down: Q‾L tem Y=−16, o Higgs tem +12 e dR tem −13: a soma dá zero, e o dubleto Q‾L contraído com o dubleto ϕ forma um singleto de SU(2). Para o quark up a conta não fecha com ϕ, e é preciso usar o conjugado ϕ~=iσ2ϕ∗, de hipercarga −12: −16−12+23=0. Para o elétron: +12+12−1=0.

A seção afirma que o termo de Yukawa do quark up precisa do conjugado ϕ~=iσ2ϕ∗ e que ele transforma como um dubleto de hipercarga −12. Provamos isso e vemos que, com ele, um único dubleto de Higgs dá massa a u, d e e. Usamos ϕ=(ϕ+,ϕ0)T, Yϕ=12, Q=T3+Y e as hipercargas da seção de férmions.

O termo ingênuo não é invariante Tentando Q‾Lϕ uR, a soma das hipercargas (campo com barra entra com sinal trocado) vale −YQL+Yϕ+YuR=−16+12+23=1≠0. Precisamos de um campo do tipo "Higgs" com Y=−12 que seja ainda um dubleto de SU(2). O candidato natural é o complexo conjugado, ϕ∗, de hipercarga −12.

O conjugado ϕ∗ não é um dubleto: ϕ~ é Sob U=eiαjσj/2∈SU(2), ϕ→Uϕ e ϕ∗→U∗ϕ∗. Como U∗≠U, ϕ∗ transforma numa representação "conjugada" (aparentemente diferente). Mas as matrizes de Pauli satisfazem σ2σj∗σ2=−σj (σ2 é imaginária; σ1,3 são reais e anticomutam com σ2), então σ2U∗σ2=exp⁡ ⁣(−i2αj σ2σj∗σ2)=exp⁡ ⁣(+i2αjσj)=U. Portanto, com σ2σ2=1, ϕ~=iσ2ϕ∗ → iσ2U∗ϕ∗=U (iσ2ϕ∗)=Uϕ~. ϕ~ transforma exatamente como um dubleto (o SU(2) é "pseudo-real": a conjugada é equivalente à fundamental).

Componentes e cargas Com iσ2=(01−10): ϕ~=(ϕ0∗−ϕ−),ϕ−≡(ϕ+)∗. A fase de U(1)Y, ϕ→eiα/2ϕ, vira ϕ~→e−iα/2ϕ~: Yϕ~=−12. Cargas: ϕ0∗: T3=+12, Q=12−12=0; −ϕ−: T3=−12, Q=−12−12=−1. Consistente: ϕ− é a antipartícula de ϕ+.

A regra: qual dubleto para cada termo Para ψ‾L Φ ψR invariante, −YψL+YΦ+YψR=0, isto é YΦ=YψL−YψR: u: 16−23=−12 ⇒ Φ=ϕ~,d: 16+13=+12 ⇒ Φ=ϕ,e: −12+1=+12 ⇒ Φ=ϕ. Os três termos de Yukawa da seção, Q‾Lϕ~ uR, Q‾Lϕ dR, L‾Lϕ eR, são os únicos possíveis. (Um νR, de Y=0, usaria ϕ~: −(−12)+(−12)+0=0; o modelo mínimo não o tem.)

O vácuo escolhe a componente certa Com ϕ→12(0,v)T, ϕ~→12(v,0)T: Q‾Lϕ~ uR→v2 uˉLuR,Q‾Lϕ dR→v2 dˉLdR,L‾Lϕ eR→v2 eˉLeR. Cada termo resultante é neutro: por exemplo uˉLuR tem −23+23=0. Os termos com ϕ± (como uˉLdRϕ+: −23−13+1=0) ficam com as cargas fechadas e viram os acoplamentos dos Goldstones carregados.

Resultado. ϕ~=iσ2ϕ∗ é um dubleto de SU(2) (porque σ2U∗σ2=U) com Y=−12; a regra YΦ=YψL−YψR escolhe ϕ~ para u e ϕ para d e e. Assim um único dubleto dá mu,md,me=y v/2 (a fórmula e o acoplamento mf/v estão em Higgs e férmions). Teste: a soma de hipercargas dá 0 nos três termos, e uˉLuR, dˉLdR e eˉLeR são neutros.

Matrizes de Yukawa

Depois da quebra: de acoplamento a massa

Um férmion com massa é formado por duas componentes, a canhota (L, verde) e a destra (R, azul), ligadas pelo termo de Yukawa através do valor de vácuo do Higgs (os grãos âmbar). Cada "esbarrão" no vácuo troca L por R. A frequência dessas trocas é proporcional à massa m=yv/2; com massa zero, L e R nunca se misturariam. Com a mesma energia, quem tem mais massa anda mais devagar, β=1−m2/E2. As taxas na tela estão comprimidas (escala logarítmica): o top troca de mão 105 vezes mais rápido que o elétron.