Setor do campo de Higgs

O campo de Higgs é um dubleto escalar complexo de SU(2)L. Sua Lagrangiana junta um termo cinético com derivada covariante a um potencial cuja forma força o vácuo a escolher uma direção.

O campo de Higgs preenche todo o espaço. Diferente dos outros campos, a energia mínima dele não está no zero: o potencial tem a forma de um chapéu mexicano, com um topo no centro e um vale em volta. O universo “rolou” para o vale, e o campo ficou com um valor constante em todo lugar, v≈246 GeV.

Esse valor de fundo é o que dá massa às partículas: quem interage com ele fica “mais pesado” para acelerar. Os dois números do potencial, μ2 (o quanto o centro é um topo) e λ (o quanto as paredes sobem), fixam tanto o valor do campo no vácuo quanto a massa do bóson de Higgs.

O potencial e seus parâmetros

Por que esse formato? Escreva ∣ϕ∣2=ϕ†ϕ. O termo −μ2∣ϕ∣2 puxa o campo para longe do zero; o termo +λ∣ϕ∣4 cresce mais rápido e o segura. O equilíbrio fica onde a derivada se anula: ∣ϕ∣2=μ2/2λ, um círculo inteiro de mínimos (na verdade uma esfera em 4 dimensões, porque ϕ tem 4 componentes reais). Qualquer ponto do vale é tão bom quanto outro: essa é a simetria. O vácuo precisa escolher um, e essa escolha “esconde” a simetria.

A seção escreve V=−μ2ϕ†ϕ+λ(ϕ†ϕ)2 como se fosse óbvio. Aqui mostramos que é o potencial renormalizável mais geral invariante sob SU(2)L×U(1)Y com um dubleto ϕ de Y=12, deduzimos as condições sobre os sinais (λ>0, μ2>0) e calculamos a energia do vácuo. (A expansão em torno do vácuo, com mH2=2λv2, está na parte seguinte.)

O que pode aparecer Com [ϕ]=1, um monômio ϕn(ϕ†)m tem dimensão n+m≤4. Sua hipercarga é (n−m)/2, que precisa ser zero: só entram potências com n=m. Restam termos quadráticos (n=m=1, dimensão 2) e quárticos (n=m=2, dimensão 4); a constante é irrelevante sem gravidade. Termos lineares e cúbicos têm n≠m e são proibidos por U(1)Y.

Quadráticos Dois índices de dubleto, ϕa†ϕb, só formam um singleto de SU(2) contraindo a com b: ϕa†ϕa=ϕ†ϕ ⇒ um termo, de coeficiente −μ2.

Quárticos: só um Entram ϕa†ϕbϕc†ϕd. As contrações com δ são duas, δabδcd e δadδcb; como os campos comutam, as duas dão a mesma coisa: ϕa†ϕa ϕc†ϕc=ϕa†ϕd ϕd†ϕa=(ϕ†ϕ)2. (A contração com ϵabϕaϕb vale zero por antissimetria.) Logo V=−μ2ϕ†ϕ+λ(ϕ†ϕ)2, com exatamente dois parâmetros reais.

Estabilidade: λ>0 Com ρ=ϕ†ϕ≥0, V(ρ)=−μ2ρ+λρ2. Para ρ→∞ domina λρ2: se λ<0, V→−∞ e o potencial não tem mínimo (vácuo instável a qualquer escala). Condição: λ>0.

Estrutura do mínimo e o sinal de μ2 V′(ρ)=−μ2+2λρ. Se μ2≤0, V′≥0 para ρ≥0: o único mínimo é ρ=0 (simetria intacta, ϕ com massa² −μ2≥0). Se μ2>0, V′(0)=−μ2<0: a origem deixa de ser mínimo, e o mínimo está em ρ0=μ22λ≡v22,Vmin⁡=−μ44λ=−λv44,v=μλ. Este é o regime do documento (μ2>0): o sinal negativo de −μ2ϕ†ϕ é a condição para a quebra espontânea.

Uma simetria a mais do que a imposta ϕ†ϕ=12∑i=14ϕi2: o potencial acima é invariante por todo o grupo O(4) de rotações das quatro componentes reais, de dimensão 6, maior que dim⁡[SU(2)×U(1)]=4. É uma simetria acidental do potencial renormalizável (é a simetria custodial, que protege a relação ρ=1 entre mW e mZ, veja gauge e massas) e é por isso que o conjunto de vácuos é uma esfera S3 inteira, não só uma órbita menor.

A energia do vácuo Com mH2=2λv2 (expansão) ⇒ λv4/4=mH2v2/8. Com mH=125,25 GeV e v=246,22 GeV: Vmin⁡=−mH2v28=−1,19×108 GeV4=−(104 GeV)4. Só diferenças de energia importam sem gravidade, mas a gravidade vê o valor absoluto. Comparando com a densidade de energia escura observada, ρΛ≈2,5×10−47 GeV4 (h=0,674, ΩΛ=0,69), a razão é ≈5×1054: é o problema da constante cosmológica, aqui só como ordem de grandeza.

Resultado. Para um dubleto de Y=12, os invariantes de dimensão ≤4 são só ϕ†ϕ e (ϕ†ϕ)2, logo V=−μ2ϕ†ϕ+λ(ϕ†ϕ)2 é geral; λ>0 por estabilidade; a quebra exige μ2>0, com v2=μ2/λ e Vmin⁡=−λv4/4=−(104 GeV)4. Teste: se μ2 trocasse de sinal o vácuo seria ϕ=0 e W, Z ficariam sem massa.

A simulação do potencial (esfriar o universo e ver o campo cair no vale, formando domínios) está em A quebra espontânea de simetria.

As componentes do dubleto: φ⁺, φ⁰ e φ⁻

O campo de Higgs é um dubleto de SU(2)L: duas componentes complexas, ou seja, quatro campos reais. Os sobrescritos indicam a carga elétrica de cada componente, calculada por Q=T3+Y com Y=12:

O ϕ− não é uma quinta componente: é a antipartícula de ϕ+, o mesmo grau de liberdade visto pelo conjugado. Antes da quebra, o Higgs são quatro partículas escalares: ϕ+, ϕ− (que contam como um campo complexo, 2 reais) e ϕ0, ϕ0∗ (outro campo complexo, 2 reais). O vácuo só pode ter valor na componente neutra, senão a carga elétrica seria violada no vácuo: ⟨ϕ⟩=(0,v/2)T.

A seção diz que o vácuo ⟨ϕ⟩=(0,v/2)T "só pode ter valor na componente neutra" e que SU(2)L×U(1)Y se reduz a U(1)em. Mostramos as duas coisas: (i) escolher a componente neutra não perde generalidade, (ii) o subgrupo que deixa o vácuo invariante é gerado exatamente por Q=T3+Y. Notação: ϕ0=(0,c)T, c=v/2, Ti=σi/2, Yϕ=12.

O conjunto dos vácuos é uma esfera S3 V depende só de ϕ†ϕ=12(ϕ12+ϕ22+ϕ32+ϕ42). Seus mínimos (acima) formam ϕ†ϕ=12v2: a esfera S3⊂R4 de raio v nas componentes reais.

SU(2)L alcança todos os pontos da esfera Seja ϕ=(a,b)T qualquer ponto do vale, ∣a∣2+∣b∣2=c2. A matriz U=1c(b∗a−a∗b),det⁡U=∣a∣2+∣b∣2c2=1,U†U=1 é um elemento de SU(2) e U(0c)=(ab). Logo todo vácuo é uma rotação de gauge de ϕ0: escolher a componente neutra é uma escolha de gauge, sem perda de generalidade: nos outros pontos da esfera o gerador que sobrevive é UQU−1, a mesma física com outros rótulos.

Quais geradores aniquilam ϕ0? Um gerador geral é X=α1T1+α2T2+α3T3+βY. Com σ1(0,1)T=(1,0)T, σ2(0,1)T=(−i,0)T, σ3(0,1)T=−(0,1)T: Xϕ0=c(12(α1−iα2)12(−α3+β)).

O núcleo é unidimensional Xϕ0=0 exige α1=α2=0 e β=α3: X=α3(T3+Y)=α3 Q. Das quatro direções do grupo, só Q=T3+Y deixa o vácuo invariante: Qϕ0=(−12+12)c (0,1)T=0. O subgrupo H é o U(1) gerado por Q, isto é, U(1)em, e o fóton é o campo de gauge dele.

Contagem e direções de Goldstone dim⁡G−dim⁡H=4−1=3 geradores quebrados. Como δϕ=iϵXϕ0 deve ser tangente à esfera, olhamos iXϕ0: iT1ϕ0=c2(i,0)T,iT2ϕ0=c2(1,0)T,iT3ϕ0=−iYϕ0=c2(0,−i)T. Como vetores reais de R4 (com ϕ+=(ϕ1+iϕ2)/2, ϕ0=(ϕ3+iϕ4)/2) eles são ∝e^2, e^1 e e^4: três direções independentes, que são as de ϕ1,ϕ2,ϕ4. A quarta, e^3 (a parte real de ϕ0), não é tangente: é o modo radial h, o Higgs.

Resultado. O vácuo é uma S3 e SU(2)L age transitivamente nela, então ⟨ϕ⟩=(0,v/2)T vale em qualquer gauge. O estabilizador é {α (T3+Y)}=U(1)em: SU(2)L×U(1)Y→U(1)em, com 4−1=3 direções quebradas, que coincidem com a dimensão da órbita (S3): o teste dim⁡(oˊrbita)=dim⁡G−dim⁡H=3 fecha. O fóton fica sem massa; W± e Z comem as três direções (Goldstone).

O campo de Higgs é um dubleto: duas componentes complexas, ϕ+ (carga elétrica +1) e ϕ0 (carga 0), ou seja, quatro campos reais ϕ+=(ϕ1+iϕ2)/2, ϕ0=(ϕ3+iϕ4)/2. A antipartícula de ϕ+ é ϕ−=(ϕ+)∗. Cada mostrador é uma componente: o tamanho da seta é o módulo, o ângulo é a fase. O vácuo escolhido é ⟨ϕ⟩=(0, v/2): só a componente neutra tem valor. Aplique as rotações do grupo: as de SU(2) e de hipercarga movem o vácuo (são quebradas, e cada direção quebrada é um Goldstone, comido por W+, W− e Z). A rotação gerada pela carga elétrica Q=T3+Y dá fase zero à componente neutra: o vácuo não muda. Por isso o eletromagnetismo continua exato e o fóton não tem massa. A quarta direção, o tamanho de ϕ0, é o bóson de Higgs h.

Para dar massa aos quarks de cima (u, c, t) usa-se o dubleto conjugado ϕ~=iσ2ϕ∗, que tem hipercarga −12 e a componente neutra em cima. É aqui que aparecem ϕ− e ϕ0∗ explicitamente:

Qualquer configuração do dubleto pode ser escrita como uma rotação SU(2) local aplicada a um dubleto “alinhado”. As três funções ξi(x) dessa rotação são os bósons de Goldstone; o comprimento é v+h. No gauge unitário escolhemos a rotação inversa e os ξi desaparecem da Lagrangiana, reaparecendo como a polarização longitudinal de W± e Z:

Transformação de gauge

O Higgs não tem cor: SU(3)C o deixa intacto. Sob SU(2)L ele gira como um dubleto, ϕ→eiαi(x)σi/2ϕ, misturando ϕ+ e ϕ0; sob U(1)Y ganha a fase eiα(x)/2 (hipercarga 12). O potencial só depende de ϕ†ϕ=12(ϕ12+ϕ22+ϕ32+ϕ42), que é invariante por todas essas rotações: o chapéu mexicano tem uma simetria SO(4) de rotações das quatro componentes reais. O termo cinético usa Dμϕ, e é ele que, após a quebra, dá massa a W e Z.