Setor dos campos férmions

Os férmions são as partículas de matéria. Sua dinâmica e todas as suas interações com os campos de gauge estão codificadas em um único termo: ψ‾ iγμDμψ.

Férmions são as partículas de matéria: quarks e léptons. Um único termo descreve como eles se movem e com quem interagem. A peça-chave é a derivada covariante Dμ: uma derivada “corrigida” que, ao medir como o campo muda de um ponto ao outro, desconta a rotação interna feita pelos campos de força. Cada correção que ela recebe é uma interação.

Um detalhe que surpreende: a natureza distingue esquerda e direita. As partículas “canhotas” (quiralidade esquerda) vêm em pares que a força fraca transforma um no outro, como (uL,dL) e (νL,eL). As “destras” não sentem a força fraca carregada. Por isso o Modelo Padrão é escrito com campos esquerdos e direitos separados.

A soma corre sobre as três gerações. ψ‾=ψ†γ0 é a adjunta de Dirac; γμDμ contrai a derivada covariante com as matrizes de Dirac, ditando a dinâmica dos férmions de spin-½.

Diagrama de pesos da 1ª geração no plano (T3,Y). As diagonais são linhas de carga constante Q=T3+Y: todo campo sobre a mesma diagonal tem a mesma carga elétrica. Os dubletos esquerdos ficam na horizontal, ligados pelo W±, que muda T3 em ±1 sem mudar Y. Os campos direitos são singletos de SU(2), com T3=0. Quarks aparecem como trios de cor. As outras duas gerações repetem exatamente o mesmo desenho, e não há νR no Modelo Padrão mínimo.

Derivada covariante

A derivada covariante substitui ∂μ e injeta os campos de gauge, garantindo invariância local. É aqui que toda interação férmion–bóson nasce.

Leia a fórmula da esquerda para a direita como uma lista de interações. Um quark uL, por exemplo, sente todos os pedaços: troca glúons (tem cor), troca W (está num dubleto) e troca B (tem hipercarga 1/6). Um elétron direito eR só sente o último: não tem cor nem parceiro de dubleto. Um neutrino direito, se existisse, não sentiria nenhum, e é por isso que ele não aparece no Modelo Padrão mínimo.

Visualização simplificada (abeliana): em cada setor, o mostrador é a fase interna θ(x) do férmion e a curva é o campo de gauge A(x). Aperte o botão: uma transformação local α(x) gira cada mostrador por um ângulo diferente em cada ponto. A derivada comum ∂θ muda, mas a covariante Dθ=∂θ−A não, porque o campo se transforma junto, A→A+∂α. É para isso que os bósons de gauge existem. Repare na forma de cada mostrador: em U(1) o estado interno é só uma fase, um ponto num círculo; em SU(2) o dubleto pode apontar para qualquer direção de uma esfera (a esfera de Bloch: SU(2) é ela própria uma 3-esfera, e gira esse vetor em 3 eixos); em SU(3) o estado mistura as três cores.

Antes da quebra: os campos atuam pelos geradores σi/2 (SU(2), teal) e pela hipercarga Y (U(1), índigo). Todos os bósons sem massa.

Hipercarga, isospin e representações

A tabela da seção dá as hipercargas como dado. Aqui mostramos que, com Q=T3+Y, um dubleto de Higgs, os campos da tabela (sem νR) e três cores, os valores ficam fixados por duas exigências: cada termo de Yukawa tem hipercarga total zero, e as anomalias quirais se cancelam (módulo Consistência quântica). Chamamos y=YQL e ℓ=YLL as hipercargas dos dois dubletos esquerdos; as outras três saem delas.

A hipercarga do Higgs O vácuo ⟨ϕ⟩=(0,v/2)T precisa ser neutro, pois a carga elétrica não pode ser quebrada. A componente de baixo tem T3=−12, logo 0=Q=−12+Yϕ: Yϕ=+12,Yϕ~=−12.

Os termos de Yukawa fixam as hipercargas direitas Um termo só é permitido se a soma das hipercargas for zero, e o campo com barra entra com sinal trocado (Yukawa): Q‾Lϕ dR: −y+12+Yd=0,Q‾Lϕ~ uR: −y−12+Yu=0,L‾Lϕ eR: −ℓ+12+Ye=0. Yd=y−12,Yu=y+12,Ye=ℓ−12. Restam duas incógnitas: y e ℓ.

Condições de anomalia Para cada grupo, a soma sobre os férmions esquerdos (e − a soma sobre os direitos) tem de se anular. Contamos 3 cores para quarks e as 2 componentes de cada dubleto (no SU(2)2Y cada dubleto conta uma vez, com peso tr⁡TaTb=12δab, comum a todos): grav.–grav.–Y:6y+2ℓ−3Yu−3Yd−Ye=0SU(2)2Y:3y+ℓ=0SU(3)2Y:2y−Yu−Yd=0Y3:6y3+2ℓ3−3Yu3−3Yd3−Ye3=0

Resolver Substituindo o passo 2 na condição gravitacional: 3Yu+3Yd=6y e Ye=ℓ−12, logo 6y+2ℓ−6y−ℓ+12=ℓ+12=0 ⇒ ℓ=−12. Da condição de SU(2)2Y: 3y=−ℓ=12, isto é, y=16. Então YQL=16,YLL=−12,Yu=23,Yd=−13,Ye=−1. Exatamente a tabela da seção.

Conferir as condições que não usamos SU(3)2Y: 2⋅16−23+13=0. E Y3 em frações exatas: 6⋅1216+2(−18)−3⋅827−3(−127)+1=136−14−89+19+1=1−9−32+4+3636=0. Os dois testes passam sem terem sido impostos: não são parâmetros, são consequências. Uma partícula direita estéril νR (Y=0) não muda nenhuma soma.

As cargas elétricas Com Q=T3+Y: uL: 12+16=23; dL: −12+16=−13; νL: 12−12=0; eL: −12−12=−1; e os direitos têm T3=0, logo Q=Y: uR=23, dR=−13, eR=−1, iguais às esquerdas, como deve ser. Teste: próton uud: 23+23−13=+1; átomo de hidrogênio p+e: 1−1=0: a neutralidade da matéria ordinária segue de Q=T3+Y com estas hipercargas.

Resultado. Com Yϕ=12 (vácuo neutro), neutralidade dos três Yukawa e cancelamento da anomalia gravitacional e de SU(2)2Y: ℓ=−12, y=16, Yu=23, Yd=−13, Ye=−1. As anomalias de SU(3)2Y e de Y3 se cancelam automaticamente (soma exata zero). Observação: o número de cores entra em SU(2)2Y; com Nc cores sairia y=1/(2Nc), e o valor Nc=3 é um dado (veja por que três cores), não algo que este cálculo prove.

Quiralidade

A interação fraca é quiral: acopla só às componentes esquerdas ψL=PLψ, com PL=12(1−γ5). Os projetores, a diferença entre helicidade e quiralidade e o widget correspondente estão em Dirac, spin e quiralidade; as transformações discretas C, P e T, em simetrias discretas.

Transformações de gauge dos férmions (antes da quebra)

Cada campo fermiônico transforma-se sob os grupos a que pertence. Onde aparece (—), o campo é singleto e fica inerte sob aquele grupo.

Como ler. Cada campo sente só os grupos em que não é singleto. QL (o dubleto (uL,dL)) sente os três: a cor gira as três componentes de cor de cada quark, o isospin gira uL em dL e a hipercarga dá uma fase eiα/6. Os campos direitos não têm parceiro de isospin: para eles, SU(2)L age como identidade, e por isso não acoplam ao W. O elétron direito eR só sente a hipercarga.

Escolha uma rotação SU(2) de ângulo π em torno do eixo 1: V=eiπσ1/2=iσ1. Aplicada ao dubleto leptônico, V(νL,eL)T=i(eL,νL)T: as duas componentes trocam de lugar (com uma fase). Se a simetria fosse só global, isso diria que a física de νL e eL é a mesma. Sendo local, podemos fazer isso só numa região do espaço; o campo W absorve a diferença, e o resultado observável é que o W conecta νL e eL em todo vértice.

A hipercarga, por sua vez, dá fases proporcionais a Y: com α=6β, QL→eiβQL, uR→e4iβuR, dR→e−2iβdR, LL→e−3iβLL, eR→e−6iβeR. Um termo como LˉLeR ganharia e(3−6)iβ≠1: proibido. Por isso o elétron precisa do Higgs para ter massa.