Dirac, spin e quiralidade

Em 1928, Paul Dirac procurou uma equação relativística de primeira ordem no tempo para o elétron. O preço foram matrizes 4×4, e o prêmio foi explicar o spin, prever a antimatéria e revelar a quiralidade.

O elétron tem spin: comporta-se como um pião minúsculo, com dois estados possíveis (para cima ou para baixo). A equação de Dirac explica isso automaticamente e prevê que para cada partícula existe uma antipartícula: o pósitron, descoberto em 1932.

Ela também separa cada férmion em duas “metades”, a canhota (L) e a destra (R), chamadas de quiralidades. Para uma partícula sem massa andando à velocidade da luz, quiralidade é a mesma coisa que o sentido em que ela gira em relação ao movimento (helicidade). Com massa, as duas coisas se separam. A força fraca só age sobre a metade canhota: é a origem da violação de paridade.

A equação de Dirac

As matrizes γμ precisam ter pelo menos dimensão 4, então ψ tem quatro componentes: duas descrevem os estados de spin da partícula e duas os da antipartícula. Num campo magnético, a equação prevê o fator giromagnético g=2; os pequenos desvios de 2 vêm dos loops quânticos (veja a seção do g−2).

Quiralidade e a estrutura do Modelo Padrão

Isso explica a arquitetura do Modelo Padrão. Como só ψL está em dubletos de SU(2), ψL e ψR têm cargas diferentes. O termo cinético, que não mistura as mãos, é permitido. O termo de massa, que mistura, não é: ele só aparece via Higgs, depois da quebra. Massa, quiralidade e o Higgs estão amarrados.

Helicidade é o spin medido ao longo da direção do movimento: positiva se o spin aponta para onde a partícula vai. Quiralidade é a propriedade que a força fraca enxerga (as componentes ψL, ψR da equação de Dirac). Para uma partícula com massa, um observador mais rápido que ela a vê andar para trás: a helicidade troca de sinal. A quiralidade não depende do observador, mas um estado de helicidade definida é uma mistura das duas quiralidades, com fração destra (1+β′)/2. Só sem massa (β=1) helicidade e quiralidade coincidem. Como o W só acopla à parte L, partículas leves e rápidas "de mão errada" quase não decaem: é por isso que o píon prefere decair em múon a elétron (supressão de helicidade, fator ∼10−4).

O limite não relativístico: de onde vem g = 2

Expandindo a equação de Dirac em v/c, a componente “pequena” do espinor pode ser eliminada e sobra uma equação para duas componentes: a equação de Pauli, com o momento magnético do spin previsto, não postulado. A ordem seguinte dá os termos de estrutura fina do átomo de hidrogênio.

A equação de Dirac acoplada ao eletromagnetismo, expandida em v/c, devolve a equação de Pauli com o fator giromagnético g=2 e, na ordem seguinte, as três correções da estrutura fina (cinética, spin-órbita e Darwin). Convenções: ℏ=c=1, carga q (para o elétron q=−e), π=p−qA, potencial escalar φ, representação de Dirac β=diag(1,−1), α=(0σσ0).

A forma hamiltoniana i∂tψ=HDψ,HD=α⋅π+βm+qφ. Acoplamento mínimo: p→π=p−qA, E→E−qφ. Nada de spin foi posto à mão: as matrizes α já carregam σ.

Separe a energia de repouso Escreva ψ=e−imt(ϕχ) com ϕ,χ espinores de duas componentes. As duas equações acopladas ficam i∂tϕ=σ⋅π χ+qφ ϕ,i∂tχ=σ⋅π ϕ+(qφ−2m) χ.

A componente pequena No regime não relativístico, ∣i∂tχ∣, ∣qφχ∣≪2m∣χ∣. A segunda equação dá χ≃σ⋅π2m ϕ(∣χ∣∼v2∣ϕ∣).

A identidade de Pauli Com σiσj=δij+iϵijkσk: (σ⋅π)2=π2+iσ⋅(π×π). As componentes de π não comutam: [πi,πj]=−q([pi,Aj]+[Ai,pj])=iq (∂iAj−∂jAi)=iq ϵijkBk ⟹ π×π=iq B, (σ⋅π)2=π2−q σ⋅B.

A equação de Pauli e g = 2 Levando χ para a primeira equação: i∂tϕ=[(p−qA)22m+qφ−q2m σ⋅B]ϕ≡[π22m+qφ−μ⋅B]ϕ. Com S=σ/2, o momento magnético é μ=q2mσ=g q2mS com g=2. Para o momento orbital o mesmo cálculo dá μL=q2mL, isto é, gL=1. O fator 2 do spin, que na mecânica quântica não relativística é posto à mão, é uma previsão da equação de Dirac.

A ordem seguinte: estrutura fina Continuando a expansão em 1/m de forma consistente (transformação de Foldy–Wouthuysen, que mantém ϕ normalizado até essa ordem), surgem três termos para um potencial eletrostático V=qφ, E=−∇φ: H=p22m+V−p48m3⏟cineˊtica − q4m2 σ⋅(E×p)⏟spin-oˊrbita − q8m2 ∇⋅E⏟Darwin. Para um potencial central, E×p=−1q1rdVdr r×p, e o termo spin-órbita vira 12m21rdVdr S⋅L, já com o fator 12 de Thomas que o cálculo clássico ingênuo erra. O Darwin, com ∇⋅E=ρ/ϵ0, só atua onde há carga: no hidrogênio, em r=0, afetando apenas os estados s.

O que o Dirac não explica, e quem explica Somados, os três termos dão a estrutura fina do hidrogênio, Enj=−mα22n2[1+α2n2(nj+1/2−34)], que depende só de n e j: 2s1/2 e 2p1/2 ficam degenerados. A separação medida entre eles (deslocamento de Lamb) e o desvio g−2=α/π+… são efeitos de laço da eletrodinâmica quântica, que a equação de uma partícula não contém.

Resultado. χ≃(σ⋅π/2m)ϕ, (σ⋅π)2=π2−qσ⋅B, equação de Pauli com g=2; na ordem 1/m2, correção cinética, spin-órbita com o fator de Thomas e termo de Darwin. A estrutura fina do hidrogênio, tratada como perturbação, está em Mecânica Quântica; o g−2, na seção do momento magnético anômalo.