Teoria de Yang–Mills

Em 1954, Chen Ning Yang e Robert Mills generalizaram o eletromagnetismo para simetrias em que a ordem das transformações importa. A teoria resultante é a base das forças forte e fraca, e guarda um dos problemas mais difíceis da matemática.

No eletromagnetismo, a simetria é uma fase: girar um ângulo e depois outro é o mesmo que girar na ordem inversa. Em Yang–Mills, a simetria é como girar um objeto no espaço: girar em torno de x e depois de y não dá o mesmo que o contrário. Essa diferença faz algo surpreendente: os próprios bósons de força passam a carregar a carga da força.

O fóton é neutro e não sente outro fóton. Os glúons têm cor e se atraem entre si. Isso muda tudo: a força forte fica mais fraca de perto (liberdade assintótica) e muito forte de longe, a ponto de prender quarks e glúons dentro dos hádrons (confinamento). E uma teoria feita só de glúons, partículas sem massa, prevê partículas com massa: as glueballs. A existência desse “gap de massa” ainda não foi provada.

De U(1) a SU(N)

Para um grupo não-abeliano, o campo de gauge é uma matriz, Aμ=AμaTa, uma componente por gerador (N2−1 para SU(N): 3 para SU(2), 8 para SU(3)). O tensor de campo é a curvatura dessa conexão e ganha um termo quadrático nos próprios campos.

O tensor de campo Fμνa, o comutador [Dμ,Dν] e a lagrangiana −14FaFa estão definidos no setor de gauge; aqui interessa o que muda quando a ordem das transformações importa.

Atenção à notação. Nesta seção, Aμ=AμaTa é um campo de gauge genérico de SU(N), não o fóton. No Modelo Padrão ele assume três identidades: Gμa (8 glúons, SU(3)), Wμi (3 campos, SU(2)L) e Bμ (U(1)Y). O fóton só aparece depois da quebra eletrofraca, como a combinação Aμ=sin⁡θWWμ3+cos⁡θWBμ. Os balões seguem essa convenção: “campo de gauge” aqui e nas partes de QCD e da rede; “fóton” depois da quebra.

À esquerda, a seta sofre primeiro uma rotação A e depois B; à direita, primeiro B e depois A. Em três dimensões (o caso de SU(2), cujas rotações internas se comportam como as do espaço) os resultados diferem: AB≠BA. Essa diferença é medida pelo comutador, [Ta,Tb]=ifabcTc, e as constantes fabc≠0 são exatamente o que faz os bósons de gauge carregarem a própria carga e interagirem entre si. Num plano (o caso de U(1)), as rotações só somam ângulos e a ordem não importa: o fóton não interage consigo mesmo.

O bloco abaixo deriva, do zero, a álgebra que está por trás da figura: constantes de estrutura, identidade de Jacobi, representação adjunta, os Casimirs CF e CA, e a fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff que liga o comutador à curvatura de uma plaqueta (a base da rede de Wilson).

Tudo o que distingue Yang–Mills do eletromagnetismo está codificado em um único objeto, [Ta,Tb]. Aqui ele é construído do zero, com as identidades que aparecem em todo cálculo de QCD, e conectado à curvatura pela fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff.

Grupo, álgebra e constantes de estrutura Elementos de SU(N) perto da identidade: U=eiαaTa, com Ta hermitianas e de traço nulo (det⁡U=eiαatr⁡Ta=1). Há N2−1 geradores. O fechamento do grupo sob produto implica fechamento da álgebra sob comutador: [Ta,Tb]=ifabc Tc,tr⁡(TaTb)=12δab. Multiplicando por Td e tomando o traço: tr⁡([Ta,Tb]Td)=i2fabd, ou seja, fabd=−2itr⁡([Ta,Tb]Td). A ciclicidade do traço torna f totalmente antissimétrico, e a hermiticidade o torna real.

Exemplos explícitos SU(2): Ta=σa/2. De σ1σ2=iσ3 e σ2σ1=−iσ3: [σ12,σ22]=14(2iσ3)=i σ32 ⟹ fabc=ϵabc. SU(3): Ta=λa/2 (Gell-Mann), com f123=1, f147=f246=f257=f345=f516=f637=12, f458=f678=32. No caso abeliano U(1), f≡0 e tudo o que segue colapsa no eletromagnetismo (setor de gauge).

A identidade de Jacobi Para quaisquer operadores, [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0 (expanda os 12 termos). Com geradores: [Ta,[Tb,Tc]]=ifbce[Ta,Te]=−fbcefaed Td, ⟹fbcefaed+fcaefbed+fabefced=0. É essa identidade que, mais adiante, garante a identidade de Bianchi, a nilpotência de BRST e a consistência dos vértices de três e quatro glúons.

A representação adjunta Defina matrizes (N2−1)×(N2−1) por (TAa)bc=−ifabc. Reescrevendo Jacobi com índices livres b,c, obtém-se exatamente [TAa,TAb]=ifabc TAc. Os próprios geradores formam uma representação do grupo, e é nela que vive o campo de gauge: δAa=fabcAbαc é iαc(TAc)abAb. “O glúon tem carga de cor” significa precisamente que a adjunta não é trivial, o que exige f≠0.

Completeza (Fierz) para SU(N) {1, Ta} é uma base das matrizes N×N, ortogonal no produto tr⁡(X†Y). Expandindo uma matriz arbitrária M=1Ntr⁡M 1+2tr⁡(MTa)Ta e lendo os índices: TijaTkla=12(δilδkj−1N δijδkl).

Casimir fundamental CF Contraia j=k na identidade de Fierz: (TaTa)il=12(N−1N)δil ⟹ CF=N2−12N(43 para SU(3)). Também de Fierz: TaXTa=12tr⁡X 1−12NX para qualquer X. Essa identidade é a ferramenta para o próximo passo.

Casimir adjunto CA=N Usando facd=−2itr⁡([Ta,Tc]Td) e Fierz sobre d (comutadores têm traço nulo): facdfbcd=−4tr⁡([Ta,Tc]Td)tr⁡([Tb,Tc]Td)=−2tr⁡([Ta,Tc][Tb,Tc]). Expandindo o comutador em quatro termos e usando TcXTc e TcTc=CF: tr⁡([Ta,Tc][Tb,Tc])=(−14N−CF2−CF2−14N)δab=−N2 δab ⟹ facdfbcd=N δab. Esses dois números, CA=N e TF=12, são os que entram em b0=113CA−43TFnf.

BCH: rotações finitas que não comutam Para matrizes, eXeY=exp⁡(X+Y+12[X,Y]+112([X,[X,Y]]+[Y,[Y,X]])+… ). Expandindo até segunda ordem o “comutador de grupo”: eϵXeϵYe−ϵXe−ϵY=exp⁡(ϵ2[X,Y]+O(ϵ3)). Com X=iT1, Y=iT2: ϵ2[iT1,iT2]=−iϵ2T3. Girar em x, em y, desfazer x, desfazer y não volta ao início: sobra uma rotação de ordem ϵ2 em torno de z. É o que o widget de rotações não abelianas, acima, mostra.

A plaqueta: curvatura = comutador de transportes Com D=∂−igA, o transportador de x+aμ^ para x é Uμ(x)=e−iagAμ (avaliado no ponto médio). A plaqueta é Uμν=Uμ(x) Uν(x+aμ^) Uμ(x+aν^)† Uν(x)†. Para quatro fatores, ln⁡∏eXi=∑Xi+12∑i<j[Xi,Xj]+O(X3). Expandindo tudo em torno do centro da plaqueta: ∑iXi=−ia2g (∂μAν−∂νAμ)+O(a3),12∑i<j[Xi,Xj]=−a2g2[Aμ,Aν]+O(a3), ⟹Uμν=exp⁡(−ia2g (∂μAν−∂νAμ−ig[Aμ,Aν])+O(a3))=e−ia2gFμν+O(a3). O termo quadrático de F é literalmente o termo de BCH: a parte não abeliana da curvatura é o fato de que transportar por dois caminhos diferentes dá resultados que não comutam.

Resultado. [Ta,Tb]=ifabcTc, Jacobi, adjunta, CF=N2−12N, CA=N, e U□=e−ia2gF+O(a3) com F contendo −ig[A,A]. Este último resultado é a ponte exata entre a geometria (holonomia), a rede de Wilson e a ação contínua.

Três consequências

À esquerda, os estados de energia de uma teoria só de glúons, calculados na QCD na rede: as "glueballs", bolas de campo de cor, rotuladas por spin, paridade e conjugação de carga (JPC). O estado mais leve, 0++, tem ~1,7 GeV: entre o vácuo e ele não há nada. Esse intervalo é o gap de massa. Na teoria de Maxwell, só de fótons, o espectro começa em zero (fótons de energia arbitrariamente pequena). À direita, como a rede mede uma massa: o correlator C(t) de um operador decai como e−mt, e a inclinação no gráfico logarítmico dá m. Provar matematicamente que esse gap existe e é positivo é um dos sete Problemas do Milênio.