A superfície de Fermi

Num gás de elétrons livres a fronteira entre estados ocupados e vazios é uma esfera no espaço de k. Num cristal o potencial da rede a deforma, a divide em pedaços e às vezes a abre. Essa fronteira, a superfície de Fermi, é o objeto central da teoria dos metais: calor específico, condutividade, efeito Hall, magnetoresistência, supercondutividade e as quase-partículas do líquido de Fermi dependem só de estados a ∼kBT dela.

Se o mar de elétrons da seção anterior é um lago, a superfície de Fermi é a sua linha de costa no espaço de ondas. Tudo o que um metal faz de interessante (conduzir, absorver um pouco de calor, ser atravessado por uma corrente) envolve só elétrons à beira da água: os do fundo estão presos entre os vizinhos e não podem fazer nada. A forma da costa (uma bola, uma bola com pescoços, tubos que atravessam toda a zona, pedaços de buracos) é, portanto, a impressão digital do metal. A construção de Harrison é uma receita para desenhar a costa: comece com a bola dos elétrons livres e ‘corte e cole’ nos planos de Bragg.

Definição e por que ela manda

A T≪TF, somente estados dentro de ∼kBT de SF são excitáveis. Quase toda propriedade de baixa energia é uma integral sobre a superfície de Fermi, ponderada por 1/vF (densidades de estados), por vF2 (condutividade) ou pela curvatura (efeito Hall). A superfície é medida diretamente por três técnicas: oscilações quânticas (de Haas–van Alphen, Shubnikov–de Haas), que dão as áreas extremas Aext pela frequência F=ℏAext/2πe em 1/B; ARPES, que fotoemite elétrons e mede E(k) diretamente; e a aniquilação de pósitrons, que mede a distribuição de momento.

A construção de Harrison

A construção é uma receita geométrica para obter a superfície de Fermi de um metal com potencial fraco (elétrons quase livres) a partir de três dados: a rede de Bravais, a valência z e a regra de que a esfera livre tem volume z2VZB (derivação abaixo).

Ponto de partida: as bandas En(k) (Bandas de energia), N valores de k na zona de Brillouin por banda e 2 estados por k. A superfície de Fermi é {k:En(k)=EF} a T=0.

A superfície corta os planos de Bragg a 90∘ Com o resultado de duas ondas, E±=λˉ±ϵδ2+∣VG∣2 com ϵδ=ℏ2Gδ/2m, onde δ é a distância ao plano de Bragg medida ao longo de G. Então ∂E±/∂δ=λˉ′±ϵδϵδ′/ϵδ2+∣VG∣2, e como λˉ′=ℏ2δ/m→0 e ϵδ→0 em δ=0, a componente da velocidade perpendicular ao plano se anula sobre ele. A normal à superfície de Fermi é v, logo é paralela ao plano: a superfície encontra o plano perpendicularmente. Por isso, ao desenhar a esfera livre e ‘arredondar’ onde ela cruza uma face da zona, os cantos nunca são pontudos.

A densidade de estados em EF é uma integral sobre a superfície g(EF)=2∫d3k(2π)3 δ(EF−Ek)=14π3∮SFdS∣∇kE∣=14π3ℏ∮SFdSvF(k). (Fórmula da co-área: o volume do casco entre E e E+dE é ∮dS dE/∣∇E∣.) Teste com o gás livre: ∣∇E∣=ℏ2kF/m e S=4πkF2 dão g=mkF/π2ℏ2, que é 12π2(2m/ℏ2)3/2EF. Superfícies com partes muito planas ou com velocidade pequena têm g(EF) grande. Singularidades de van Hove. Onde ∇kE=0 (mínimo, máximo ou sela da banda), g(E) é singular: em 3D, uma quebra de inclinação (∝∣E−Ec∣); em 2D, um degrau nos extremos e uma divergência logarítmica g∝−ln⁡∣E−Es∣ nas selas (como em (π,0) na rede quadrada). Quando EF cruza uma delas a topologia da superfície muda (transição de Lifshitz): por exemplo, um pescoço que se rompe.

A contagem de Harrison Um cristal com z elétrons de valência por célula primitiva (volume Ω) tem n=z/Ω, então a esfera de Fermi livre tem volume 4π3kF3=4π3 3π2zΩ=z2 (2π)3Ω=z2 VZB. Isto é, volume da esfera = z/2 volumes da zona de Brillouin. Receita: (i) desenhe a esfera de raio kF; (ii) repita-a em cada ponto da rede recíproca; (iii) onde ela atravessa uma face da zona, abra um gap, de modo que a superfície real é perpendicular à face (passo 1); (iv) rotule as partes pela zona (1ª, 2ª, 3ª…) e translade cada parte para a primeira zona, por G: o resultado é a superfície em esquema reduzido, com bolsões de elétrons e de buracos.

Exemplo: a rede quadrada em 2D Com z elétrons por átomo e lado a, n2D=z/a2=kF2/2π, isto é kFa=2πz. A zona é o quadrado ∣kx∣,∣ky∣≤π/a, com faces a π/a e cantos a 2π/a: z=1: kFa=2,51<π;z=2: kFa=3,54∈(π,2π=4,44);z=3: kFa=4,34<4,44. z=1: um círculo dentro da zona, fechado, de elétrons. z=2: o círculo ultrapassa as faces mas não chega aos cantos; as partes que saíram pertencem à 2ª zona (elétrons, que no esquema reduzido formam um bolsão centrado no canto) e deixam os cantos da 1ª zona vazios (buracos): um metal, apesar de 2 elétrons por célula, pois a área do círculo é igual à da zona mas a forma não é. z=3: a 1ª zona fica quase cheia (restam bolsões minúsculos de buracos nos cantos, porque kFa=4,34 é só um pouco menor que 4,44) e meia zona de elétrons ocupa a 2ª.

Quantização de Onsager: como se mede a superfície Num campo B, ℏk˙=−e v×B mantém E e k∥ fixos: o elétron percorre, no espaço de k, a seção da superfície perpendicular a B, e no espaço real a mesma órbita girada de 90∘ e ampliada por ℏ/eB. A condição de Bohr–Sommerfeld para essa órbita dá áreas quantizadas An=(n+γ) 2πeB/ℏ, e o número de órbitas abaixo de EF muda, por uma unidade, sempre que 1/B varia de Δ ⁣(1B)=2πeℏ Aext. Logo as oscilações de de Haas–van Alphen (magnetização) e Shubnikov–de Haas (resistência) são periódicas em 1/B com frequência F=ℏAext/2πe, onde Aext é uma área extrema da superfície de Fermi. Para uma esfera de Fermi com kF=1,36 Å⁻¹ (Cu), F=6×104 T: a ordem de grandeza das frequências medidas para a órbita de ‘barriga’ do cobre.

Resultado. SF⊥ planos de Bragg; g(EF)=14π3ℏ∮dS/v; volume da esfera livre =z2VZB (Harrison); áreas extremas medidas por F=ℏAext/2πe. Sem interações; com elas, o teorema de Luttinger mantém o volume dentro da superfície (Líquido de Fermi).

Energias em unidades de t. Quadrada: E=−2t(cos⁡kx+cos⁡ky)−4t′cos⁡kxcos⁡ky; triangular: E=−2t[cos⁡kx+2cos⁡kx2cos⁡3ky2]; favo de mel: E=±t ∣1+eik⋅a1+eik⋅a2∣. EF é o quantil n/2 de todos os estados de uma grade de 300×300 pontos k (a área ocupada da zona é n/2: teorema de Luttinger), a superfície é a curva de nível E=EF (marching squares) e g(E) é o histograma da mesma grade. Na quadrada com t′=0 e n=1 a superfície é o losango ∣kx∣+∣ky∣=π, coberto por ele mesmo pela translação Q=(π,π) (nesting) e g(E) diverge logaritmicamente em E=0 (singularidade de van Hove, pontos de sela em (π,0)); t′≠0 destrói as duas coisas. No favo de mel g(E)∝∣E∣ perto de E=0 (cones de Dirac).

No widget, o enchimento n em elétrons por sítio (spin incluído, de 0 a 2) move EF e a curva branca é a superfície de Fermi; a cor mostra E(k) e o histograma, a densidade de estados com EF marcado. Na rede quadrada sem t′: para n<1 a superfície é um bolsão de elétrons em torno de Γ, que cresce e vira um quadrado inclinado em n=1 (meio preenchimento); para n>1 é um bolsão de buracos em torno de M. Em n=1 a superfície é um losango perfeito, o aninhamento (nesting) é exato (a curva tracejada, a superfície deslocada por Q=(π,π), coincide com ela) e g(E) diverge em E=0 (singularidade de van Hove). Ligue t′≠0 e as duas coisas desaparecem. A triangular tem sua singularidade de van Hove em n=1,5 (e a superfície vira bolsões de buracos em torno de K além dela). A rede de favo de mel tem pontos de Dirac em n=1, onde g(E)→0 (os cones do grafeno), e singularidades de van Hove em n=0,75 e 1,25.

Topologias e o que elas medem

Fechada ou aberta. Uma superfície fechada em torno de Γ (elétrons) ou de um ponto da borda (buracos) dá órbitas fechadas no campo magnético; uma superfície que atravessa a zona (como os pescoços do Cu, ligados de uma zona à seguinte, para campos em certas direções) dá órbitas abertas, e a magnetoresistência não satura em campo alto (Transporte). Elétrons ou buracos. Os portadores num bolsão com E crescendo para fora são elétrons (RH<0); se E decresce para fora (topo de banda), buracos (RH>0). O coeficiente de Hall positivo de Be, Zn e Cd é impossível num gás de elétrons livres e é uma prova direta de que a superfície tem bolsões de buracos.

Aninhamento e instabilidades. Se um vetor Q conecta grandes regiões planas da superfície, então E(k+Q)=EF para muitos k e a susceptibilidade (função de Lindhard) diverge: o gás de Fermi é instável a uma onda de densidade de carga ou de spin com vetor de onda Q, que abre um gap e reduz a energia (o cromo é antiferromagnético por isso). A rede quadrada a meio preenchimento é o exemplo de livro-texto e o ponto de partida do modelo de Hubbard. Singularidades de van Hove e transições de Lifshitz. Quando EF passa por um ponto de sela da banda, g(E) tem um pico e a topologia da superfície muda (um pescoço se rompe ou se forma): fenômeno investigado em cupratos e no grafeno de camada dupla torcida.