Radiação Hawking: buracos negros evaporam

Pelo princípio de equivalência, a gravidade na superfície de um horizonte é como uma aceleração — e, como em Unruh, o horizonte tem temperatura. Hawking mostrou que um buraco negro irradia e, lentamente, evapora.

Criação de pares no horizonte de eventos

Flutuações do vácuo produzem pares partícula–antipartícula junto ao horizonte. Um membro tem energia negativa e cai; o outro escapa ao infinito como radiação térmica. O buraco perde massa. Diminua a massa e veja-o esquentar e irradiar mais.

Perto do horizonte, o vácuo do campo visto por quem cai e por quem fica longe não é o mesmo (de novo uma transformação de Bogoliubov): o buraco negro emite como um corpo negro à temperatura TH=ℏc38πGMkB≈6×10−8 K (M⊙/M). Na imagem, pares virtuais surgem no horizonte: um cai, o outro escapa; a cor dos quanta que escapam segue a temperatura. Quanto menor o buraco, mais quente: ele perde massa cada vez mais rápido e termina num clarão. Um buraco de massa solar é muito mais frio que a radiação cósmica de fundo (2,7 K) e hoje cresce absorvendo-a; só buracos primordiais com menos de ∼1011 kg estariam evaporando agora. Tempo de vida aproximado ∼2×1067 anos (M/M⊙)3 (só fótons).

Unidades ℏ=c=kB=1. Usamos o fato (Unruh, e a periodicidade euclidiana de Schwarzschild) de que um horizonte de Rindler com aceleração a tem temperatura a/2π. Mostramos que a vizinhança do horizonte de Schwarzschild é um espaço de Rindler, extraímos TH e integramos a primeira lei para obter a entropia.

Perto do horizonte ds2=−f dt2+dr2/f+r2dΩ2, f=1−rs/r, rs=2GM. Seja ρ a distância própria radial até o horizonte: ρ=∫rsrdr′f(r′)≃∫rsrrsr′−rs dr′=2rs(r−rs) ⇒ r−rs=ρ24rs,f≃r−rsrs=ρ24rs2.

A métrica é a de Rindler Substituindo f e dr2/f=dρ2: ds2≃−(ρ2rs)2dt2+dρ2+rs2dΩ2. Comparando com ds2=−(aξ)2dη2+dξ2: ξ=ρ, η=t e a→κ≡12rs=14GM. Esta é a gravidade superficial: a aceleração (medida com o tempo t de quem está no infinito) que mantém algo parado perto do horizonte. (Confere com κ=12f′(rs)=12 rs/rs2.)

A temperatura Rindler com aceleração κ em relação ao tempo t tem T=κ/2π em relação a t: TH=κ2π=18πGM(com unidades: kBTH=ℏc38πGM). Para M=M⊙: TH=6,17×10−8 K, abaixo dos 2,7 K do CMB, então um buraco negro estelar absorve mais do que emite.

A primeira lei com TH Para Schwarzschild, a energia é M. Se dM=T dS, com T=TH, dS=dMTH=8πGM dM ⇒ S=4πGM2+S0. A constante S0 não depende de M; toma-se S(M→0)=0.

Em termos da área A=4πrs2=16πG2M2, logo M2=A/16πG2 e S=4πG A16πG2=A4G=kB c3ℏGA4. Conferência com a forma do texto: dM=κ8πGdA com dA=32πG2M dM dá 14GM⋅32πG2M8πG dM=dM, correto.

Números Para M⊙=1,989×1030 kg: rs=2,95 km, A=1,10×108 m2, S/kB=Ac3/(4Gℏ)=1,05×1077, o número do texto. Um bit de entropia por 4ℓP2ln⁡2 de área.

Resultado. kBTH=ℏc3/(8πGM) (6,17×10−8 K para o Sol) e SBH=kBA/4ℓP2 (1,05×1077kB para o Sol). Aproximações: a vizinhança do horizonte é tratada como Rindler (exato no limite ρ≪rs); a temperatura vem do argumento de periodicidade, e a constante aditiva de S é fixada por convenção.

As leis da termodinâmica de buracos negros

Buraco negro de Schwarzschild irradiando como corpo negro à temperatura TH=1/8πGM (derivada na caixa anterior). Em ℏ=c=kB=1, integramos a perda de massa. Aproximações: só fótons (2 polarizações), espectro de corpo negro com a área do horizonte, sem fatores de corpo cinzento nem outras espécies; M muda devagar o suficiente para TH valer em cada instante.

A potência irradiada Lei de Stefan–Boltzmann para 2 polarizações, σSB=π2/60, com a área do horizonte A=16πG2M2: P=σSB A TH4=π260⋅16πG2M2⋅1(8πGM)4.

Simplificar (8πGM)4=4096 π4G4M4: P=16π3G2M260⋅4096 π4G4M4=115360 π G2M2. Quanto menor M, maior P: P∝M−2.

Conservação de energia A massa do buraco diminui à taxa em que a energia sai (c=1): dMdt=−P=−115360πG2M2 ⇒ M2 dM=−dt15360πG2.

Integrar até M=0 ∫M00M2dM=−M033, então τ=15360πG2⋅M033=5120 π G2M03 (com unidades: τ=5120πG2M03ℏc4). A solução completa é M(t)=M0(1−t/τ)1/3: a temperatura TH∝1/M cresce sem limite perto do fim, o clarão final.

Números Sol, M0=1,989×1030 kg: τ=2,1×1067 anos, como no texto. Buraco que evapora justo hoje, τ=13,8 Ganos: M0=1,7×1011 kg (cerca de 9×10−20M⊙) e TH=7,1×1011 K, kBTH≈61 MeV. Nessa temperatura são emitidos também elétrons, múons e píons, então o tempo real é menor que o desta estimativa só de fótons por um fator da ordem de algumas unidades; a lei τ∝M3 permanece. Por exemplo, M0=1012 kg dá 2,7×1012 anos com a fórmula só de fótons.

Resultado. τ=5120πG2M3/(ℏc4): τ⊙≈2,1×1067 anos, e M≈1,7×1011 kg evaporam em 13,8 Ganos. Dobrar a massa multiplica a vida por 8.