O tensor renormalizado, a anomalia conforme e o que falta

Em espaço curvo, ⟨Tμν⟩ gravita — e suas divergências exigem contratermos de origem geométrica. O ordenamento normal de Minkowski já não basta.

Tensor de energia-momento renormalizado

A anomalia conforme (de traço)

O texto cita que a anomalia conforme permite derivar Hawking. Fazemos isso na versão mais simples: um escalar sem massa em 1+1 dimensões (c=1) no setor (t,r) de Schwarzschild. Aqui uso assinatura (−,+) e curvatura R>0 na esfera, convenções em que a anomalia de traço é ⟨Tμμ⟩=R/24π (o análogo bidimensional da fórmula do texto, e a entrada desta derivação, não derivada aqui). Unidades ℏ=c=kB=1.

Métrica em coordenadas nulas Com r∗=r+2GMln⁡(r/2GM−1), u=t−r∗, v=t+r∗ e C(r)=1−2GM/r: ds2=−C du dv≡−e2ρdu dv,ρ=12ln⁡C. Os símbolos de Christoffel não nulos são Γuuu=∂uln⁡C e Γvvv=∂vln⁡C. O escalar de curvatura (conferido simbolicamente, e dando +2 na esfera de raio 1) é R=8 e−2ρ ∂u∂vρ.

O traço fixa Tuv guv=−2/C, então Tμμ=2guvTuv=−4Tuv/C. Com a anomalia: Tuv=−C4 Tμμ=−C4 R24π.

Conservação A componente u de ∇μTμν=0, com os Christoffel do passo 1: ∂vTuu+C ∂u ⁣(TuvC)=0 ⇒ ∂vTuu=C4 ∂u(R24π)=112π e2ρ∂u(e−2ρ∂u∂vρ).

Integrar em v e2ρ∂u(e−2ρ∂u∂vρ)=∂u2∂vρ−2 ∂uρ ∂u∂vρ=∂v[∂u2ρ−(∂uρ)2]. Logo Tuu=112π[∂u2ρ−(∂uρ)2]+tu(u), onde tu(u) é uma função arbitrária de u (a parte que a anomalia não fixa, o estado quântico).

Avaliar nos dois extremos Como ∂ur∗=−12, ∂ur=−C/2 e ∂uρ=12(Cr/C)(−C/2)=−Cr/4, ∂u2ρ=C Crr/8. Em r→∞: Cr=2GM/r2→0, então Tuu→tu, que é o fluxo de energia observado no infinito. Em r→2GM: C→0 e Cr=1/2GM=2κ com κ=1/4GM, logo ∂uρ→−κ/2 e ∂u2ρ→0: Tuu∣r→2GM=−112πκ24+tu=−κ248π+tu.

Regularidade no horizonte Em coordenadas de Kruskal, U=−e−κu/κ, TUU=Tuu (du/dU)2=Tuu/(κU)2, que diverge em U→0 (horizonte futuro) a menos que Tuu→0. Esta é a condição do estado de Unruh (vácuo regular no horizonte, sem fluxo entrando vindo do passado). Impondo Tuu→0 no horizonte: tu=κ248π⇒fluxo no infinito=κ248π=1768π G2M2.

Reconhecer a temperatura Um gás de bósons sem massa em uma dimensão a temperatura T tem fluxo (energia por tempo) de saída ∫0∞dω2πωeω/T−1=π12 T2 (a integral vale π2/6). Igualando a κ2/48π: π12T2=κ248π ⇒ T=κ2π=18πGM. Para M=M⊙: T=6,17×10−8 K e fluxo de energia πkB2T2/12ℏ=1,8×10−27 W (nesta versão em 1D; verifiquei a integral de Bose numericamente: 0,2618=π/12).

Resultado. A anomalia de traço, Tμμ=R/24π, mais conservação e regularidade no horizonte dão o fluxo κ2/48π no infinito, o fluxo térmico de um corpo negro 1D a TH=κ/2π=1/(8πGM). Aproximações: modelo bidimensional (sem retroespalhamento, o que em 4D dá o fator de corpo cinzento), estado de Unruh, e a anomalia tomada como entrada; em 4D só a estrutura é a mesma.

Lendo. Para campos sem massa e com acoplamento conforme, o traço Tμμ é zero classicamente (a teoria não tem escala). Quanticamente, a regularização introduz uma escala, e o traço fica proporcional a invariantes de curvatura. Os coeficientes a, b, c só dependem de quantos campos de cada spin existem: a anomalia “conta” o conteúdo de partículas da teoria. É o análogo gravitacional da anomalia quiral do módulo Consistência quântica.

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