Aplicações cosmológicas: do vácuo às galáxias

Num espaço-tempo FLRW ds2=dt2−a2(t) dx2, a frequência dos modos varia com o tempo. Variação não-adiabática ⇒ vácuos inicial e final inequivalentes ⇒ produção de partículas.

Na era dominada pela radiação, a temperatura cai como T≈1 MeV (t/1 s)−1/2 (aproximação; o número de espécies muda os fatores). Quando T cai abaixo de cerca de um terço da massa de uma partícula, ela deixa de ser criada no plasma e desaparece. Os marcos: quebra eletrofraca (~160 GeV), confinamento dos quarks em hádrons (~155 MeV), desacoplamento dos neutrinos (~1 MeV), formação dos núcleos leves (~0,1 MeV, 3 minutos) e a liberação da luz que vemos como radiação cósmica de fundo (~0,3 eV, 380 mil anos). Depois de ~50 mil anos a matéria domina e a lei T(t) muda; o desenho continua a usar a aproximação de radiação.

Inflação e flutuações primordiais

Durante a inflação (a∼eHt), flutuações quânticas do vácuo são esticadas para fora do horizonte de Hubble, congelam como perturbações clássicas e reentram depois — semeando as inomogeneidades do CMB e a estrutura em larga escala.

Unidades ℏ=c=1; MP=(8πG)−1/2=2,435×1018 GeV é a massa de Planck reduzida. Durante a inflação, a(t)=eHt (de Sitter), em tempo conforme a=−1/(Hη), η<0. Calculamos o espectro de um campo escalar sem massa nesse fundo (aproximação: H constante) e o traduzimos para a perturbação de curvatura ζ no regime de rolamento lento. É o mecanismo de Bogoliubov da seção, aplicado a um modo que sai do horizonte.

Ação e variável canônica Para ϕ sem massa, S=12 ⁣∫dη d3x a2[ϕ′2−(∇ϕ)2] (′=∂η). Com v=aϕ e integrando por partes o termo cruzado: S=12∫dη d3x[v′2−(∇v)2+a′′av2],a′′a=2η2. É um campo plano com massa efetiva dependente do tempo, meff2=−2/η2, um caso de frequência não adiabática.

A equação de modo e a escolha do vácuo Para cada k: vk′′+(k2−2/η2)vk=0. Quando ∣kη∣≫1 (modo bem dentro do horizonte) o termo 2/η2 é desprezível, e o vácuo natural é o de Minkowski, vk→e−ikη/2k (o vácuo de Bunch–Davies). A solução exata com essa condição é vk(η)=e−ikη2k(1−ikη). Verificação: v′=e−ikη[−ik−1/η+i/(kη2)] (sem o fator 1/2k) e v′′=e−ikη[−k2+ik/η+2/η2−2i/(kη3)]=(2/η2−k2) v.

Fora do horizonte, o modo congela Com ϕk=vk/a=−Hη vk e ∣kη∣→0: ∣ϕk∣2=H2η212k(1+1k2η2) → ∣kη∣→0 H22k3, uma constante: a flutuação quântica foi esticada e “classicizou-se” (a fase e−ikη deixou de importar, e o termo dominante é real).

O espectro adimensional do campo Pϕ(k)=k32π2∣ϕk∣2: Pϕ=k32π2⋅H22k3=(H2π)2. É independente de k (invariância de escala) e igual ao quadrado da temperatura de de Sitter, TdS=H/2π, que o texto cita.

De δϕ a ζ No inflaton φ0(t) em rolamento lento, a perturbação de curvatura é ζ=−H δφ/φ˙0 (em gauge de curvatura espacial nula). O parâmetro de rolamento lento é ϵ=−H˙/H2=φ˙02/(2H2MP2), logo φ˙02=2ϵH2MP2: Pζ=H2φ˙02 Pϕ=H22ϵH2MP2⋅H24π2=H28π2 ϵ MP2∣k=aH. O fator ∣k=aH indica que H é avaliado quando o modo k cruza o horizonte, e a pequena variação de H com k inclina o espectro, ns−1≈−2ϵ−ϵ2 com ϵ2=ϵ˙/(Hϵ) (não derivado aqui).

Números Com Pζ=2,1×10−9 (Planck): H=8π2ϵPζ MP. Para ϵ=10−2: H=9,9×1013 GeV (H/MP=4,1×10−5). Para ϵ=10−3: H=3,1×1013 GeV, e a escala de energia da inflação V1/4=(3H2MP2)1/4=1,1×1016 GeV, perto de MGUT. Assim Pζ∼10−9 é minúsculo porque H≪MP.

Resultado. Pϕ=(H/2π)2 e Pζ=H2/(8π2ϵMP2), com MP reduzida; para Pζ=2,1×10−9 e ϵ=10−3, H≈3×1013 GeV. Atenção à convenção: com MP reduzida o denominador é 8π2, não (2π)2 (os dois coincidem se o MP2 do texto for 1/4πG, o dobro do reduzido). Aproximações: de Sitter exato, campo livre sem massa, rolamento lento, e a conversão δϕ→ζ tomada no nível linear.

Como a física a temperatura finita sai do tempo imaginário periódico (Matsubara, massas térmicas, potencial efetivo e a transição eletrofraca) está no módulo Temperatura finita. Ir para a seção →