Gravitação euclidiana: por que buracos negros são quentes

Este é o ponto alto. Pegue a geometria de um buraco negro, aplique a rotação de Wick, e olhe o que sobra perto do horizonte: um plano em coordenadas polares. Agora, um plano só é liso se o ângulo dá a volta em exatamente 2π — qualquer outro valor deixa um bico, como o de um cone de papel.

Como o ângulo aqui é o tempo imaginário, exigir que não haja bico fixa o período. E período do tempo imaginário é temperatura. Ou seja: a temperatura de um buraco negro é consequência de a geometria não poder ter ponta.

A métrica de Schwarzschild, rotacionada, é

Perto do horizonte, com r=2GM+ε e a troca ρ=22GM ε, o setor (ρ,τ) vira

que é o plano em coordenadas polares, com ângulo θ=τ/4GM. E um plano só é liso na origem se θ tiver período 2π:

Vale registrar o número que sai de brinde. Longe do horizonte a geometria vira um cilindro de circunferência β, ou seja de raio

o dobro do raio de Schwarzschild. É esse o tamanho do tubo térmico em que o buraco negro está enrolado, e é ele que o laboratório abaixo desenha.

A superfície gerada pelo círculo do tempo imaginário, desenhada contra a distância própria ao horizonte. Longe, ela é um cilindro de circunferência β; perto do horizonte, o círculo encolhe e a superfície fecha numa ponta. A forma é a de um charuto — e a pergunta é se a ponta é lisa ou é um bico.

O número que decide tudo é a inclinação da superfície na ponta, dR/dℓ. Uma ponta lisa — como a de uma esfera, ou como a origem de um plano — tem inclinação exatamente 1. Qualquer outro valor é um cone. Deslize β e veja: em β=8πGM o readout marca 1,0000 e o déficit angular zera; em β=8πGM/2 a inclinação é 0,5000 e sobra um bico com déficit π. O painel pequeno mostra a ponta ampliada, onde a diferença entre "arredondado" e "afiado" fica visível. Longe da ponta nada disso importa: a superfície vira um cilindro de circunferência β, que é exatamente o cilindro do Lab 07. Um buraco negro euclidiano é um cilindro térmico que fecha, e a temperatura de Hawking é o único período que deixa ele fechar sem machucar.

À esquerda, o setor (ρ,τ) desenhado como um cone: a circunferência a distância ρ da ponta é C=ρβ/4GM. Se C/ρ≠2π, há déficit (ou excesso) angular e a geometria é singular no horizonte.

Deslize o período e olhe a fatia vermelha: ela some exatamente em β=8πGM, e o readout mostra o déficit indo a zero de máquina. Não há ajuste, não há aproximação — é uma condição de regularidade geométrica. E repare no seletor de massa: quanto maior o buraco negro, menor a temperatura. Um de uma massa solar está a 6,2×10−8 K, muito abaixo dos 2,7 K da radiação de fundo, então ele absorve muito mais do que emite. Buracos negros astrofísicos não evaporam hoje — só num universo muito mais frio e velho.

Os três são a mesma conta em geometrias diferentes: horizonte + regularidade euclidiana ⇒ temperatura. O caso de Unruh é o mais desconcertante, porque o espaço-tempo é plano e o vácuo é o vácuo de sempre — e ainda assim um detector acelerado clica como se estivesse num banho térmico. A aceleração de 1 g dá T≈4×10−20 K, o que explica por que ninguém sente.

Da mesma ação euclidiana, avaliada na solução, sai também a entropia: S=A/4G — a fórmula de Bekenstein-Hawking, com a área do horizonte em unidades de Planck. Toda a termodinâmica de buracos negros é geometria euclidiana.

Comece com Schwarzschild euclidiana, f(r)=1−2GM/r:

Perto do horizonte ponha r=2GM+δ. Como f′(2GM)=1/2GM, vale f≃δ/2GM. Defina a distância própria ρ por dρ=dr/f, o que dá ρ=22GMδ, ou seja δ=ρ2/8GM e portanto f=(ρ/4GM)2. Substituindo,

Isso é o plano em coordenadas polares, com ângulo θ=τ/4GM. E um plano só é liso na origem se θ tiver período 2π — qualquer outro período deixa um bico, uma singularidade cônica de curvatura infinita concentrada no horizonte. Logo β=8πGM, sem nenhuma escolha livre. O Lab 16 mostra o déficit angular indo a zero de máquina exatamente nesse valor.

A entropia sai do mesmo lugar. Para Schwarzschild R=0, então o termo de Einstein-Hilbert no volume não contribui e a ação euclidiana na casca vem inteira do termo de fronteira de Gibbons-Hawking-York:

A partir daí é termodinâmica de livro-texto, sem contar micro-estado nenhum:

É difícil exagerar o que aconteceu: a fórmula de Bekenstein-Hawking apareceu de uma condição de regularidade geométrica mais uma integral de fronteira. Nenhum grau de liberdade microscópico foi contado — e é exatamente esse silêncio que faz S=A/4G ser o teste que toda proposta de gravidade quântica precisa passar.

Um detalhe que costuma passar batido: T=1/8πGM dá C=dM/dT=−1/8πGT2<0. Calor específico negativo — o buraco negro esquenta ao perder energia. Isso significa que o ensemble canônico não é estável em espaço plano, e é a raiz da transição de Hawking-Page em AdS.

Uma conta só: instanton e Hawking

Vale parar e reparar numa coincidência que não é coincidência. O Instantons e o bounce de Coleman calculou uma taxa de decaimento, Γ∼e−B, com B a ação euclidiana do bounce. Esta seção calculou uma temperatura, e dela sai uma taxa de emissão Γ∼e−E/TH. São a mesma fórmula: em ambos os casos

com SE a ação euclidiana da solução clássica que faz o processo proibido acontecer. O que muda de um caso para o outro é só qual ação entra no expoente.

A afirmação é literal, e é o argumento de Parikh e Wilczek. Uma partícula de energia E logo dentro do horizonte é classicamente incapaz de sair — o horizonte é uma barreira. Ela sai por efeito túnel, e o expoente da taxa é a ação euclidiana da travessia:

O fator de Boltzmann não foi assumido: ele saiu do cálculo de tunelamento. E a correção é instrutiva — o −E/2 vem de o buraco negro perder massa ao emitir, e torna o espectro não exatamente térmico. Em E=0,2M a razão entre os dois expoentes é exatamente 1−E/2M=0,900, o que aumenta a emissão de quanta duros em relação ao térmico puro. É por aí que a informação poderia, em princípio, escapar.

Um poço metaestável com uma barreira — a mesma situação do bounce da seção Instantons e o bounce de Coleman. Alterne entre tempo real e tempo imaginário e olhe a partícula: em tempo real ela bate na parede e volta, para sempre. Em tempo imaginário o potencial inverte, a barreira vira um vale, e ela atravessa num tempo finito. A área sombreada entre x1 e x2 é exatamente o expoente da taxa.

O painel da direita é o ponto da seção. Ele traz as duas taxas na mesma escala logarítmica, e as duas são retas — ou seja, exponenciais puras. Só que apontam para lados opostos: subir a energia facilita atravessar a barreira e dificulta escapar do horizonte. Isso não é contradição, é a mesma fórmula com ações diferentes: na barreira SE=2W diminui com E; no horizonte SE=E/TH cresce com E.

Duas coisas para experimentar. Suba V0 e veja a taxa desabar: dobrar a barreira leva 2W de 5,41 para 16,76 na mesma energia — quase seis ordens de grandeza a menos. E baixe a massa do buraco negro: TH=1/8πGM sobe, o expoente cai, e a emissão explode. É por isso que buracos negros pequenos evaporam violentamente e os grandes ficam gelados — o mesmo e−SE, lido ao contrário.

E o último bloco do readout mostra por que ninguém vai fotografar radiação Hawking tão cedo. Para uma massa solar, TH=6,17×10−8 K e o quantum típico tem 5,3×10−12 eV. Um fóton visível, de 1 eV, sairia com supressão e−1,9×1011. Não é pouco provável: é zero.

A fórmula Γ≈e−2W é a aproximação semiclássica, e vale a pena saber o preço dela. Para a barreira parabólica o resultado é exato e conhecido:

com ωb a frequência da barreira invertida. Com V0=2,4, E=0,9 e ω=1,3, o exato dá 7,0979×10−4 e e−2W dá 7,1030×10−4: concordam em 0,07%. Mas em E=V0 o exato vale exatamente 1/2 enquanto e−2W vale 1 — a semiclássica só serve quando a barreira é alta, e o laboratório deixa isso visível se você levar E para perto do topo.

Vale registrar também a estrutura do potencial usado aqui, V=Ax2−Bx3. Fixando a altura V0 e a frequência do poço ω0, sai A=mω02/2 e B=4A3/27V0, e daí uma coincidência bonita: V′′(x∗)=−2A, ou seja, a curvatura da barreira é igual à do poço. Por isso, perto do topo, 2W→2π(V0−E)/ω0 — e a verificação desta página confere isso em 7×10−4.