Síntese — da Lagrangiana ao detector

Percorremos a teoria inteira. Vale reuni-la num único caminho — cada elo transforma a informação física até chegar ao detector. Clique em cada etapa do fluxo para o detalhe, ou leia a narrativa completa abaixo.

Tudo começa com os campos e a densidade lagrangiana. As simetrias contínuas (Teorema de Noether) ditam as interações permitidas e geram correntes conservadas $j^\mu$, $\partial_\mu j^\mu=0$ — eletromagnética, carregada e neutra — que se acoplam aos campos de gauge. Clique nas etapas seguintes para acompanhar o caminho.

A soma sobre todas as histórias $Z[J]=\int\mathcal{D}\phi\,e^{i(S+\int J\phi)}$ quantiza o sistema. A fonte externa $J$ sonda o campo: derivar em $J$ extrai correlações. É a formulação que lida naturalmente com gauge e com fenômenos não-perturbativos.

As derivadas funcionais $G^{(n)}=\tfrac{1}{i^n}\tfrac{\delta^n Z}{\delta J^n}$ codificam toda a dinâmica. $W[J]=-i\ln Z$ gera apenas os diagramas conexos; a ação efetiva $\Gamma[\varphi]$ (Legendre de $W$) gera os 1PI, amputados — e contém a auto-energia $\Sigma$ e a massa física.

A fórmula LSZ amputa as pernas externas (operadores $\Box+m^2$) e projeta na camada de massa, isolando a matriz $S$: $\langle f|S|i\rangle=\delta_{fi}+i(2\pi)^4\delta^4(P_f-P_i)\,\mathcal{M}$. A $\delta^4$ é a conservação de energia-momento.

$\mathcal{M}$ é o produto de vértices × propagadores × linhas externas ao longo de cada diagrama. A série de Dyson $S=T\exp(-i\int\mathcal{H}_{\rm int})$ + teorema de Wick reproduzem exatamente as regras de Feynman, ordem a ordem.

Observáveis dependem de $\overline{|\mathcal{M}|^2}$: o módulo ao quadrado, somado sobre os spins/polarizações finais e promediado sobre os iniciais. É onde entram as relações de completeza $\sum u\bar u=\slashed p+m$.

Integra-se sobre os momentos finais permitidos: $d\Pi_{\rm LIPS}=(2\pi)^4\delta^{(4)}\!\big(P_i-\textstyle\sum p_f\big)\prod_f\tfrac{d^3p_f}{(2\pi)^3 2E_f}$. A cinemática (Mandelstam, função de Källén) fecha o cálculo.

Finalmente: $\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{|\mathcal{M}|^2}{64\pi^2 s}\frac{|\vec p_f|}{|\vec p_i|}$ e $\Gamma=\frac{|\vec p|}{8\pi M^2}\overline{|\mathcal{M}|^2}$ — os números medidos no LHC, LEP, Tevatron. O teorema óptico ($2\,\text{Im}\,\mathcal{M}=\sum\int|\mathcal{M}|^2$) garante a consistência (unitariedade).

Vista transversal simplificada de um detector do LHC: traçador (anéis finos), solenoide, calorímetro eletromagnético, calorímetro hadrônico e câmaras de múons. No modo desafio, uma partícula misteriosa é lançada e você identifica qual é pela assinatura.

Como acontece uma simulação de colisão

Programas reais desta cadeia: MadGraph e Powheg (processo duro), Pythia, Herwig e Sherpa (chuveiro, hadronização e decaimentos), Geant4 (detector). Todos são métodos de Monte Carlo: sorteiam aleatoriamente segundo as probabilidades que a teoria fornece. Os números aqui são ilustrativos, mas cada etapa segue a lógica dos geradores de verdade.

A narrativa, em detalhe

1 · A Lagrangiana é o ponto de partida. Escolhidos os campos e a simetria de gauge SU(3)C×SU(2)L×U(1)Y, o Teorema de Noether fixa as interações permitidas e produz as correntes conservadas jμ. Toda a física — massas, acoplamentos, mistura de sabor — está codificada em L e em como o vácuo a realiza (a quebra espontânea de simetria).

2 · A integral de caminho quantiza. Em vez de operadores, somamos sobre todas as histórias ponderadas pela fase eiS/ℏ. O funcional gerador Z[J] guarda tudo: derivar em relação à fonte J produz qualquer função de correlação. É a formulação que lida naturalmente com gauge e com o não-perturbativo (instantons, solitons).

3 · As funções de Green codificam a dinâmica. W[J]=−iln⁡Z isola os diagramas conexos; a ação efetiva Γ[φ] (transformada de Legendre) gera as funções 1PI, amputadas, onde vivem a auto-energia Σ e a massa física (o polo do propagador exato).

4 · A redução LSZ extrai a amplitude. Os operadores (□+m2) amputam as pernas externas e projetam na camada de massa, conectando as funções de Green à matriz S. O que sobra é a amplitude invariante M.

5 · Os diagramas de Feynman calculam 𝓜. Cada amplitude é o produto de vértices × propagadores × linhas externas; a série de Dyson e o teorema de Wick reproduzem as regras ordem a ordem (módulo Regras de Feynman).

6–7 · Do |𝓜|² ao espaço de fase. Toma-se ∣M∣2‾ (soma sobre spins finais, média sobre iniciais) e integra-se sobre o espaço de fase invariante de Lorentz (LIPS), com a cinemática de Mandelstam e a função de Källén.

8 · Chega-se ao observável. Seções de choque σ e taxas de decaimento Γ — os números que o LHC, o LEP e o Tevatron medem. O teorema óptico amarra tudo pela unitariedade: 2 Im M(i→i)=∑f∫dΠf ∣M(i→f)∣2.

Cada fórmula desta narrativa está derivada no seu lugar: integral de caminho, funções de Green e LSZ, regras de Feynman e observáveis.

A receita completa, passo a passo

A narrativa acima, agora como uma receita que se pode seguir com lápis e papel. Cada passo diz o que entra, o que se faz e o que sai. Há dois caminhos equivalentes para quantizar (canônico, com operadores, e funcional, com a integral de caminho); eles se encontram nas funções de Green.

(1) Campos: elétron, múon, fóton; grupo U(1)em. (2) LQED=ψˉ(iD̸−m)ψ−14F2. (3) Vácuo trivial; vértice −eψˉγμψAμ. (4) Gauge de Feynman, ξ=1; fantasmas desacoplam em QED. (5) Propagador do fóton −igμν/q2. (6–8) Na ordem mais baixa não há loops; LSZ dá as funções de onda u, v. (9) ∣M∣2‾=e4(1+cos⁡2θ). (10) dσdΩ=α24s(1+cos⁡2θ), σ=4πα23s. (12) Em s=10 GeV: σ≈0,87 nb, medido. Perto de s=91 GeV a receita precisa incluir o Z: aparece o pico e a assimetria frente-trás.

Seguimos um único processo de ponta a ponta, ligando as etapas da narrativa, cada uma com seu resultado e uma conta de unidades que costuma ser omitida: do termo de interação da Lagrangiana ao número de eventos esperados num detector. Processo e−e+→μ−μ+ em ordem de árvore, s=10 GeV (s≫mμ2), α=1/137,036, e2=4πα. Os passos 2 e 3 só resumem o que está derivado em outro lugar (links).

Lagrangiana → regra do vértice Com Dμ=∂μ+ieQAμ, a QED é L=ψˉ(iD̸−m)ψ−14F2, e o termo de interação para um férmion de carga Q é Lint=−eQ ψˉγμψ Aμ. A série de Dyson põe i ⁣∫d4x Lint em cada vértice; o fator i com o coeficiente da Lagrangiana é a regra do vértice: veˊrtice=i×(−eQγμ)=−ieQ γμ,Qe=Qμ=−1.

Wick → amplitude Em segunda ordem, o termo 12!(i ⁣∫ ⁣Lint)2 e as duas maneiras de escolher qual vértice é o do elétron (cancelam o 12!), mais a contração ⟨AμAν⟩=−igμν/q2 com q2=s, dão (regras de Feynman, dicionário) iM=(−ieQ)2[vˉ2γμu1]−igμνs[uˉ3γνv4]=ie2s[vˉ2γμu1][uˉ3γμv4].

∣M∣2 média sobre spins A soma de spins vira dois traços (calculados na caixa do dicionário), com média 14 sobre os spins iniciais: ∣M∣2‾=e4 (1+cos⁡2θ),θ=∠(pe−,pμ−) no CM.

Espaço de fase → σ No CM, com massas desprezadas, dσ/dΩ=∣M∣2‾/(64π2s) (observáveis). Com e4=16π2α2: dσdΩ=α24s(1+cos⁡2θ),σ=α24s⋅2π ⁣∫−11 ⁣(1+c2) dc=α24s⋅16π3=4πα23s.

Unidades: de GeV−2 a nanobarns Em ℏ=c=1, σ tem dimensão de GeV−2. Para s=10 GeV, s=100 GeV2: σ=4π3⋅137,0362⋅100 GeV−2=2,2306×10−6 GeV−2. A conversão é (ℏc)2=0,38938 mb GeV2=3,8938×105 nb GeV2: σ=2,2306×10−6×3,8938×105 nb=0,8685 nb. Este é o 0,87 nb que a receita do texto cita.

De σ ao número de eventos N=σ Lint ε, com a luminosidade integrada Lint e a aceitância ε. Para 1 fb−1=106 nb−1: Nprod=0,8685 nb×106 nb−1=8,69×105 pares. Um detector só vê ∣cos⁡θ∣<0,8. A fração aceita é ε=∫−0,80,8(1+c2)dc∫−11(1+c2)dc=1,6+23(0,512)8/3=0,728,Nobs=6,3×105±N=±800 (0,13%). Os eventos aceitos se dividem em frente e atrás em partes iguais, NF=NB: AFB=0 neste nível (a assimetria só aparece com a interferência γ–Z).

Resultado. Lint=−eQψˉA̸ψ⇒−ieQγμ⇒∣M∣2‾=e4(1+cos⁡2θ)⇒σ=4πα2/3s=0,8685 nb em s=10 GeV ⇒ 8,7×105 pares por fb−1, 6,3×105 dentro de ∣cos⁡θ∣<0,8. Verificação por Monte Carlo (aceita-rejeita de 1+cos⁡2θ com 2×106 tentativas): aceitância 0,7281 contra 0,7280 exato, e fração frontal 0,4997. Aproximação: só árvore com α=1/137; a polarização do vácuo aumenta α(s) e σ em pelo menos 4,4% só pelos léptons ([1−Δα]−2, Δαlep=0,0212), e mais com os hádrons; a interferência com o Z (relativamente ∼s/mZ2=1,2% em 10 GeV) e as correções radiativas de estado inicial não entram.