Setor cinético dos campos de gauge

A dinâmica livre dos campos de gauge é dada por três termos cinéticos — um por grupo de simetria. Cada termo é o quadrado de um tensor de campo.

Cada força do Modelo Padrão vem de uma simetria: a liberdade de “girar” algo interno às partículas (a cor dos quarks, ou a identidade elétron/neutrino) de forma diferente em cada ponto do espaço. Para que a física não mude com essas rotações locais, a natureza precisa de um campo que “conecte” pontos vizinhos. Esse campo é o campo de gauge, e suas ondas são as partículas de força: glúons, W, B.

Os termos desta seção dizem quanta energia esses campos guardam quando oscilam, exatamente como 12(E2+B2) dá a energia de uma onda de luz. A grande novidade em relação ao eletromagnetismo: glúons e W carregam a própria carga da força que transmitem, então interagem uns com os outros.

Estes termos são a teoria de Yang–Mills, explicada em detalhe na próxima seção: por que os glúons interagem entre si, a liberdade assintótica e o problema do gap de massa.

Campos de Yang-Mills e auto-interações não-abelianas

Para um grupo não-abeliano, o tensor de campo ganha um termo extra, não-linear nos próprios campos. Ele é a curvatura da conexão de gauge: o comutador de duas derivadas covariantes.

Seja ψ um multipleto de um grupo de Lie, U(x)=eiθa(x)Ta uma transformação local, Aμ=AμaTa a conexão e [Ta,Tb]=ifabcTc, tr⁡(TaTb)=12δab. Usamos aqui a convenção da equação do tensor de campo desta seção, Dμ=∂μ−igAμ. (A tabela e os passos de transformação mais abaixo usam Dμ=∂μ+igAμ; as duas convenções diferem só por g→−g.) Mostramos que Fμν é o comutador de duas D, que transforma sem termo inomogêneo, e que isso torna −14FaFa invariante.

Lei de transformação da conexão Exigimos que Dμψ gire como ψ: Dμ′ψ′=U Dμψ com ψ′=Uψ. Como ∂μ(Uψ)=U∂μψ+(∂μU)ψ: U∂μψ+(∂μU)ψ−igAμ′Uψ=U∂μψ−igUAμψ. Os termos U∂μψ se cancelam e, como ψ é arbitrário, igAμ′U=igUAμ+∂μU. Multiplicando por U−1 à direita: Aμ′=UAμU−1−ig (∂μU) U−1. O segundo termo é o inomogêneo: ele só existe porque U depende de x.

Dμ é um operador que conjuga Do passo 1, Dμ′(Uψ)=U(Dμψ) para todo ψ, ou seja, como operadores Dμ′=U Dμ U−1. Toda a transformação inomogênea de A está escondida nesta frase simples: D gira por conjugação, como uma matriz.

O comutador é um operador de multiplicação Calculamos [Dμ,Dν] agindo sobre uma função arbitrária. Como [∂μ,Aν]ψ=(∂μAν)ψ, os termos com derivadas de ψ se cancelam: [Dμ,Dν]=−ig(∂μAν−∂νAμ)+(−ig)2[Aμ,Aν]. Definindo Fμν por [Dμ,Dν]=−igFμν (é a curvatura da conexão): Fμν=∂μAν−∂νAμ−ig [Aμ,Aν].

Em componentes: nasce fabc [Aμ,Aν]=AμbAνc[Tb,Tc]=ifbcaAμbAνc Ta=ifabcAμbAνc Ta (a constante f é invariante por permutação cíclica). Então −ig⋅ifabc=+gfabc: Fμνa=∂μAνa−∂νAμa+g fabcAμbAνc. É a expressão da seção. Se o grupo é abeliano, fabc=0: sobra só o rotacional ∂μAν−∂νAμ, linear em A.

A curvatura transforma sem termo inomogêneo Usando o passo 2 em cada D e U−1U=1: −igFμν′=[Dμ′,Dν′]=UDμU−1 UDνU−1−(μ↔ν)=U[Dμ,Dν]U−1=−ig UFμνU−1. Fμν′=U Fμν U−1. O inomogêneo de A (que contém ∂U) foi cancelado pelas derivadas cruzadas: ∂μ∂νU=∂ν∂μU. Por isso F conjuga como um objeto da representação adjunta.

O termo cinético é invariante Pela ciclicidade do traço, tr⁡(Fμν′F′μν)=tr⁡(UFμνFμνU−1)=tr⁡(FμνFμν). Com tr⁡(TaTb)=12δab, tr⁡(FμνFμν)=12FμνaFaμν, logo −14FμνaFaμν=−12tr⁡(FμνFμν)eˊ invariante de gauge. Um termo m2AμAμ, ao contrário, não é: A′ tem o inomogêneo ∝∂U, que não se cancela (por que a massa precisa do Higgs).

Teste: o limite eletromagnético Para U(1) com Aμ=(Φ,A), Ai=−Ai: F0i=∂0Ai−∂iA0=−∂tAi−∂iΦ=Ei e Fij=−ϵijkBk. Como F0i=−F0i: −14FμνFμν=−14(2F0iF0i+FijFij)=−14(−2E 2+2B 2)=12(E 2−B 2).

Resultado. A′=UAU−1−ig(∂U)U−1, [Dμ,Dν]=−igFμν, Fμνa=∂μAνa−∂νAμa+gfabcAμbAνc, F′=UFU−1 e portanto −14FaFa é invariante. Teste: sem estrutura de grupo recupera-se 12(E2−B2), a densidade de Lagrangiana de Maxwell. Para SU(2), fabc=ϵijk reproduz Wμνi da seção. A transformação infinitesimal e a covariância componente a componente estão na caixa seguinte; o caso abeliano e o não abeliano aparecem com mais calma no módulo O problema de Yang–Mills (isospin).

Expandir −14FμνaFμνa revela três contribuições — uma cinética e duas de auto-interação:

Em cima, dois fótons: sem carga elétrica, passam um pelo outro sem perceber. Embaixo, dois glúons: carregam cor e interagem num vértice de três glúons, saindo desviados e criando um terceiro glúon. É a assinatura do termo não abeliano gfabcAμbAνc dentro de Gμνa.

Comutadores da álgebra de Lie

Transformações de gauge

Uma transformação de gauge é uma rotação local — diferente em cada ponto x — na base interna dos campos, parametrizada pelas funções θa(x) (cor), αi(x) (isospin) e α(x) (hipercarga). Os campos de matéria giram como ψ→U(x)ψ; mas os campos de gauge — a conexão — não giram como um tensor comum: além de conjugar, ganham um termo inomogêneo ∼U∂μU−1 que cancela exatamente a derivada de U(x). É essa compensação que faz Dμψ girar igual a ψ e mantém a Lagrangiana invariante.

Lendo a tabela. “Global” seria girar a base interna pelo mesmo ângulo em todo o universo; “local” permite um ângulo diferente em cada ponto x. Com parâmetros constantes, o termo inomogêneo é zero e os campos de gauge apenas giram como a matéria (na representação adjunta). Com parâmetros que variam, a derivada ∂μ age também sobre U(x) e produz um pedaço extra, (∂μU)ψ, que precisa ser cancelado. O termo inomogêneo do campo de gauge existe exatamente para isso (veja também a seção sobre simetria global e local).

Para ângulos pequenos, U≈1+iθaTa, a transformação fica uma regra simples para cada componente. O primeiro termo é o “deslocamento pelo gradiente” (como no eletromagnetismo); o segundo, que só existe no caso não-abeliano, é a rotação do próprio campo de gauge, porque ele carrega carga do grupo:

Aqui seguimos a convenção da tabela de transformações desta seção: Dμ=∂μ+igAμ, Aμ=AμaTa, com ψ→Uψ, Aμ→UAμU−1+ig(∂μU)U−1 e [Ta,Tb]=ifabcTc. (Em relação à caixa anterior, é a troca g→−g.) Partimos da forma finita e obtemos a regra infinitesimal, δAμa=−1g∂μθa−fabcθbAμc, e verificamos que Fμνa gira como um vetor da adjunta, usando só a identidade de Jacobi.

Expandir a lei finita Com U=eiθaTa≈1+iθ, θ≡θaTa pequeno, U−1≈1−iθ e ∂μU≈i∂μθ: UAU−1≈A+i[θ,Aμ],ig(∂μU)U−1≈ig i ∂μθ=−1g∂μθ, δAμ=−1g ∂μθ+i[θ,Aμ].

Componentes [θ,Aμ]=θbAμc[Tb,Tc]=ifbcaθbAμcTa e fbca=fabc, de modo que i[θ,Aμ]=−fabcθbAμcTa. Lendo o coeficiente de Ta: δAμa=−1g ∂μθa−fabc θbAμc. O primeiro termo é o deslocamento pelo gradiente (o único que sobra no caso abeliano); o segundo gira o campo no espaço da adjunta.

O tensor de campo nesta convenção De [Dμ,Dν]=ig Fμν (mesmo cálculo da caixa anterior, com −ig→+ig): Fμν=∂μAν−∂νAμ+ig[Aμ,Aν], e ig⋅ifabc=−gfabc: Fμνa=∂μAνa−∂νAμa−g fabcAμbAνc. Queremos mostrar δFμνa=−fabcθbFμνc (rotação sem inomogêneo).

A parte linear em A Variando ∂μAνa−∂νAμa com o passo 2: os termos −1g(∂μ∂ν−∂ν∂μ)θa se anulam, e −fabcθb(∂μAνc−∂νAμc) − fabc(∂μθb Aνc−∂νθb Aμc). O primeiro pedaço já é o que queremos (−fabcθb vezes a parte linear de Fc). O segundo, com ∂θ, precisa ser cancelado.

A parte quadrática: o cancelamento do gradiente Variando −gfabcAμbAνc com δA=−1g∂θ+⋯, os termos com ∂θ valem fabc(∂μθb Aνc+Aμb ∂νθc)=fabc(∂μθb Aνc−∂νθb Aμc), onde, no segundo termo, trocamos os nomes b↔c e usamos facb=−fabc. Este pedaço cancela exatamente o segundo termo do passo 4: as derivadas de θ desaparecem de δF.

O que sobra: a identidade de Jacobi Restam os termos −gfabc(−fbdeθdAμeAνc−AμbfcdeθdAνe). Renomeando os índices para que fiquem do tipo θpAμqAνr, o coeficiente dos dois termos é g(fasrfspq+faqsfspr), enquanto o que queremos, −fabcθb (−gfcdeAμdAνe), tem coeficiente g fapsfsqr. A igualdade dos dois é equivalente a fpqsfsrt+fqrsfspt+frpsfsqt=0, que é a identidade de Jacobi [[Tp,Tq],Tr]+(permutações cíclicas)=0 escrita com as constantes de estrutura (verificada numericamente com as matrizes de Gell-Mann: erro 3×10−16). Portanto δFμνa=−fabc θb Fμνc.

Invariância de −14F2 e o exemplo SU(2) δ(FμνaFaμν)=−2fabcθbFμνaFcμν=0, pois fabc é antissimétrica em a↔c e o produto FaFc é simétrico. Exemplo: SU(2), fabc=ϵijk, rotação de ângulo θ em torno do eixo 3 (θa=(0,0,θ), constante): δW1=+θW2, δW2=−θW1, δW3=0. Para W±=(W1∓iW2)/2: δ(W1−iW2)=θW2+iθW1=iθ (W1−iW2) ⇒ W+→e+iθW+,W−→e−iθW−,W3→W3.