Simetrias e leis de conservação

Antes de qualquer termo da Lagrangiana, o Modelo Padrão é decidido por simetrias. O teorema de Emmy Noether (1918) mostra por que elas são tão poderosas: cada simetria contínua da ação garante uma lei de conservação.

Se você faz um experimento hoje ou amanhã e obtém o mesmo resultado, as leis da física não mudam com o tempo. Noether provou que isso, por si só, obriga a energia a se conservar. Se o resultado não depende de onde o laboratório está, o momento se conserva. Se não depende da orientação, o momento angular se conserva.

O mesmo vale para simetrias “internas”: a física de um elétron não muda se você multiplicar seu campo por uma fase eiα, e isso conserva a carga elétrica. O passo mais profundo vem a seguir: exigir que essa fase possa ser escolhida diferente em cada ponto obriga a existir o campo eletromagnético. É assim que nascem as forças do Modelo Padrão.

O teorema

Se a Lagrangiana não muda (a menos de uma derivada total) quando os campos sofrem uma transformação contínua ϕ→ϕ+ϵ δϕ, então existe uma corrente jμ cuja divergência é zero nas soluções das equações de movimento. Integrando a componente temporal sobre o espaço obtém-se uma carga Q que não muda no tempo.

Seja L(ϕa,∂μϕa) uma densidade de Lagrangiana de campos ϕa (reais, ou as partes real e imaginária de campos complexos), com métrica (+,−,−,−) e ℏ=c=1. Uma simetria contínua é uma transformação ϕa→ϕa+ϵ δϕa que muda L no máximo por uma derivada total, δL=∂μKμ. Vamos obter a corrente da seção, aplicá-la à fase global do férmion de Dirac e às translações, e conferir o resultado numa onda plana.

Variação de L e as equações de Euler–Lagrange Pela regra da cadeia, com δ(∂μϕ)=∂μδϕ: δL=∂L∂ϕa δϕa+∂L∂(∂μϕa) ∂μδϕa. Escrevendo ∂L∂(∂μϕa)∂μδϕa=∂μ ⁣(∂L∂(∂μϕa)δϕa)−∂μ ⁣(∂L∂(∂μϕa))δϕa, obtemos δL=[∂L∂ϕa−∂μ∂L∂(∂μϕa)]δϕa+∂μ ⁣(∂L∂(∂μϕa) δϕa). O colchete é a equação de Euler–Lagrange: vale zero nas soluções das equações de movimento.

A corrente conservada Impondo a simetria, δL=∂μKμ, e usando as equações de movimento (colchete nulo), sobra ∂μjμ=0,jμ=∂L∂(∂μϕa) δϕa−Kμ. Para simetrias internas Kμ=0 e jμ é exatamente a corrente da seção.

A carga não depende do tempo Com Q=∫d3x j0 e a lei de conservação ∂0j0=−∇⋅j, o teorema de Gauss dá dQdt=−∫d3x ∇⋅j=−∮∞j⋅dS=0, pois os campos se anulam no infinito (ou há condições periódicas). A carga é um número que não muda no tempo.

A fase global do férmion de Dirac: carga elétrica (ou número de férmions) Tome L=ψˉ(iγμ∂μ−m)ψ e ψ→e−iϵψ, isto é, δψ=−iψ. L é invariante (ψˉ→e+iϵψˉ), logo Kμ=0. Como ∂L/∂(∂μψ)=iψˉγμ e L não depende de ∂ψˉ: jμ=iψˉγμ(−iψ)=ψˉγμψ,Q=∫d3x ψ†ψ. Conferência direta: da equação de Dirac, γμ∂μψ=−imψ e (∂μψˉ)γμ=imψˉ. Então ∂μ(ψˉγμψ)=imψˉψ−imψˉψ=0. Multiplicada pela carga e do campo, esta é a corrente elétrica que o fóton vai acoplar (quantizado, Q conta partículas menos antipartículas).

Translações: o tensor energia-momento Para x→x+a, os campos mudam como δϕa=−aν∂νϕa e a própria Lagrangiana é um escalar: δL=−aν∂νL=∂μ(−aνδνμL), de modo que Kμ=−aνδνμL. Para cada direção ν, a corrente do passo 2 (a menos de um sinal global) é Tμν=∂L∂(∂μϕa) ∂νϕa−δνμ L,∂μTμν=0. Quatro correntes: Pν=∫d3x T0ν é conservado, com P0=H (energia) e Pi (momento): simetria no tempo dá energia, no espaço dá momento.

O escalar livre e uma onda plana Para L=12∂μϕ ∂μϕ−12m2ϕ2: Tμν=∂μϕ ∂νϕ−gμνL. A componente 00 e a componente 0i são T00=ϕ˙2−L=12ϕ˙2+12(∇ϕ)2+12m2ϕ2 ≥0,T0i=ϕ˙ ∂iϕ=−ϕ˙ ∂iϕ. Confira a conservação: ∂μTμν=(□ϕ)∂νϕ+∂νL′−∂νL, onde L′=12∂ϕ⋅∂ϕ e ∂νL=∂νL′−m2ϕ ∂νϕ; o resultado é (□ϕ+m2ϕ) ∂νϕ=0 (Klein–Gordon). Onda ϕ=Acos⁡(ωt−kx) com ω2=k2+m2. As médias temporais são ⟨ϕ˙2⟩=12A2ω2, ⟨(∂xϕ)2⟩=12A2k2, ⟨ϕ2⟩=12A2, e ϕ˙ ∂xϕ=−A2ωksin⁡2(ωt−kx): ⟨T00⟩=14A2(ω2+k2+m2)=12A2ω2,⟨T0x⟩=12A2ωk.

Resultado. jμ=∂L∂(∂μϕ)δϕ com ∂μjμ=0 e Q=∫j0 constante; para a fase do Dirac, jμ=ψˉγμψ; para translações, Tμν=∂μϕ ∂νϕ−gμνL. Teste: na onda plana, momento/energia =⟨T0x⟩/⟨T00⟩=k/ω, exatamente a velocidade de grupo ∂ω/∂k=k/ω; sem massa, =1. A fase eiα(x) local é tratada em gauge.

Uma partícula se move no plano sob cinco potenciais diferentes (integração numérica). O teorema de Noether (1918) diz: cada simetria contínua da ação dá uma quantidade conservada. Se nada muda quando você desloca o sistema em x, o momento px se conserva; se nada muda ao girá-lo, o momento angular L se conserva; se as leis não mudam com o tempo, a energia E se conserva. Troque o potencial e veja quais curvas ficam planas. Na teoria de campos é o mesmo teorema que, a partir da simetria de fase do elétron, dá a conservação da carga elétrica.

Da simetria global à local: o princípio de gauge

A fase do elétron pode ser girada igualmente em todo o espaço sem mudar nada: é uma simetria global. E se exigirmos que ela possa variar de ponto a ponto, ψ→eiα(x)ψ? A derivada do campo ganha um termo extra, ∂μψ→eiα(∂μψ+i ∂μα ψ), e a Lagrangiana de Dirac deixa de ser invariante. A única forma de consertar é introduzir um campo Aμ que se transforma junto e compensa o termo extra. Esse campo é o fóton, e o acoplamento elétron–fóton sai de graça.